Номер 1051, страница 146 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1051. Прямая, проведенная через середину высоты $BK$ равнобедренного треугольника $ABC$, пересекает его боковые стороны $AB$ и $BC$ в точках $P$ и $Q$. Найдите высоту $BK$, учитывая, что $\angle ABK = \beta$, $\angle BPQ = \alpha$ и $PQ = m$.

Пусть высота равнобедренного треугольника $ABC$ есть $BK = H$. По условию, прямая $PQ$ проходит через середину высоты $BK$, обозначим эту точку $M$. Тогда $BM = \frac{H}{2}$.

Так как треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC$, его высота $BK$ является также биссектрисой угла $\angle ABC$. Из условия $\angle ABK = \beta$, следует, что $\angle CBK = \beta$, а весь угол при вершине $\angle ABC = 2\beta$.

Рассмотрим треугольник $PBQ$. В нем $\angle PBQ = 2\beta$, $\angle BPQ = \alpha$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, поэтому $\angle BQP = 180^\circ - (2\beta + \alpha)$.

Отрезок $BM$ делит треугольник $PBQ$ на два треугольника: $\triangle PBM$ и $\triangle QBM$. Найдем углы в этих треугольниках.

В $\triangle PBM$:

• $\angle PBM = \angle ABK = \beta$
• $\angle BPM = \angle BPQ = \alpha$
• $\angle BMP = 180^\circ - (\alpha + \beta)$

В $\triangle QBM$:

• $\angle QBM = \angle CBK = \beta$
• $\angle BQM = \angle BQP = 180^\circ - (2\beta + \alpha)$
• $\angle BMQ = 180^\circ - \angle BMP = 180^\circ - (180^\circ - (\alpha + \beta)) = \alpha + \beta$

Применим теорему синусов для треугольников $\triangle PBM$ и $\triangle QBM$, чтобы выразить отрезки $PM$ и $QM$ через $BM$.

Из $\triangle PBM$:

$\frac{PM}{\sin(\angle PBM)} = \frac{BM}{\sin(\angle BPM)}$

$\frac{PM}{\sin(\beta)} = \frac{H/2}{\sin(\alpha)} \implies PM = \frac{H \sin(\beta)}{2 \sin(\alpha)}$

Из $\triangle QBM$:

$\frac{QM}{\sin(\angle QBM)} = \frac{BM}{\sin(\angle BQM)}$

$\frac{QM}{\sin(\beta)} = \frac{H/2}{\sin(180^\circ - (2\beta + \alpha))} = \frac{H/2}{\sin(2\beta + \alpha)}$

$\implies QM = \frac{H \sin(\beta)}{2 \sin(2\beta + \alpha)}$

По условию, длина отрезка $PQ = m$. Так как точка $M$ лежит на отрезке $PQ$, то $PQ = PM + QM$.

$m = \frac{H \sin(\beta)}{2 \sin(\alpha)} + \frac{H \sin(\beta)}{2 \sin(2\beta + \alpha)}$

Вынесем общий множитель и приведем к общему знаменателю:

$m = \frac{H \sin(\beta)}{2} \left( \frac{1}{\sin(\alpha)} + \frac{1}{\sin(2\beta + \alpha)} \right) = \frac{H \sin(\beta)}{2} \frac{\sin(2\beta + \alpha) + \sin(\alpha)}{\sin(\alpha)\sin(2\beta + \alpha)}$

Воспользуемся формулой суммы синусов $\sin(x) + \sin(y) = 2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$:

$\sin(2\beta + \alpha) + \sin(\alpha) = 2\sin\frac{2\beta + \alpha + \alpha}{2}\cos\frac{2\beta + \alpha - \alpha}{2} = 2\sin(\alpha + \beta)\cos(\beta)$

Подставим это выражение в уравнение для $m$:

$m = \frac{H \sin(\beta)}{2} \frac{2\sin(\alpha + \beta)\cos(\beta)}{\sin(\alpha)\sin(2\beta + \alpha)} = \frac{H \sin(\beta)\cos(\beta)\sin(\alpha + \beta)}{\sin(\alpha)\sin(2\beta + \alpha)}$

Используя формулу синуса двойного угла $\sin(2\beta) = 2\sin(\beta)\cos(\beta)$, получим $\sin(\beta)\cos(\beta) = \frac{\sin(2\beta)}{2}$:

$m = \frac{H \cdot \frac{\sin(2\beta)}{2} \cdot \sin(\alpha + \beta)}{\sin(\alpha)\sin(2\beta + \alpha)}$

Наконец, выразим искомую высоту $H = BK$:

$H = \frac{2m \sin(\alpha)\sin(2\beta + \alpha)}{\sin(2\beta)\sin(\alpha + \beta)}$

Ответ: $BK = \frac{2m \sin(\alpha)\sin(\alpha + 2\beta)}{\sin(2\beta)\sin(\alpha + \beta)}$