Номер 1076, страница 149 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1076. Середины сторон параллелограмма соединены с вершинами противоположной стороны. Определите, какую часть площади параллелограмма составляет площадь восьмиугольника, ограниченного проведенными отрезками.

Для решения этой задачи воспользуемся векторным методом. Площадь восьмиугольника составляет фиксированную часть площади параллелограмма, не зависящую от его формы (углов и соотношения сторон). Это связано с тем, что отношение площадей сохраняется при аффинных преобразованиях, а любой параллелограмм можно получить из квадрата таким преобразованием.

Пусть параллелограмм задан векторами, выходящими из одной вершины, например $D$. Обозначим $\vec{DA} = \vec{a}$ и $\vec{DC} = \vec{c}$. Тогда площадь параллелограмма $ABCD$ равна $S = |\vec{a} \times \vec{c}|$.

Координаты вершин и середин сторон в базисе $(\vec{c}, \vec{a})$ будут следующими:

• Вершины: $D(0,0)$, $A(0,1)$, $C(1,0)$, $B(1,1)$.
• $M$ — середина $AB$: $\vec{DM} = \vec{DA} + \frac{1}{2}\vec{AB} = \vec{a} + \frac{1}{2}\vec{c}$. Координаты $M(1/2, 1)$.
• $N$ — середина $BC$: $\vec{DN} = \vec{DC} + \frac{1}{2}\vec{CB} = \vec{c} + \frac{1}{2}\vec{a}$. Координаты $N(1, 1/2)$.
• $P$ — середина $CD$: $\vec{DP} = \frac{1}{2}\vec{DC} = \frac{1}{2}\vec{c}$. Координаты $P(1/2, 0)$.
• $Q$ — середина $DA$: $\vec{DQ} = \frac{1}{2}\vec{DA} = \frac{1}{2}\vec{a}$. Координаты $Q(0, 1/2)$.

Проведенные отрезки — это прямые, соединяющие середины сторон с вершинами противоположных сторон. Восьмиугольник в центре ограничен этими отрезками. Его вершины являются точками пересечения этих прямых. Найдем координаты вершин восьмиугольника. В силу симметрии достаточно найти несколько вершин, а остальные получить по симметрии относительно центра параллелограмма.

Уравнение прямой, проходящей через точки $\vec{r_1}$ и $\vec{r_2}$, имеет вид $\vec{r}(t) = (1-t)\vec{r_1} + t\vec{r_2}$.

Найдем одну из вершин восьмиугольника как точку пересечения прямых $PA$ и $QC$.

• Прямая $PA$ проходит через $P(1/2, 0)$ и $A(0, 1)$. Её уравнение: $\vec{r}(t) = (1-t)(\frac{1}{2}\vec{c}) + t(\vec{a}) = \frac{1-t}{2}\vec{c} + t\vec{a}$.
• Прямая $QC$ проходит через $Q(0, 1/2)$ и $C(1, 0)$. Её уравнение: $\vec{r}(u) = (1-u)(\frac{1}{2}\vec{a}) + u(\vec{c}) = u\vec{c} + \frac{1-u}{2}\vec{a}$.

Приравнивая коэффициенты при $\vec{a}$ и $\vec{c}$, получаем систему:$t = \frac{1-u}{2}$$\frac{1-t}{2} = u$Решая эту систему, находим $t=1/3$ и $u=1/3$. Подставляя $t$ в уравнение прямой $PA$, получаем координаты первой вершины:$\vec{v_1} = \frac{1-1/3}{2}\vec{c} + \frac{1}{3}\vec{a} = \frac{1}{3}\vec{c} + \frac{1}{3}\vec{a}$. Координаты $V_1(1/3, 1/3)$.

Проведя аналогичные вычисления для других пар пересекающихся прямых, которые образуют стороны восьмиугольника, найдем все 8 вершин в порядке обхода против часовой стрелки:

• $V_1(1/3, 1/3)$ — пересечение $PA$ и $QC$.
• $V_2(1/2, 1/4)$ — пересечение $QC$ и $ND$.
• $V_3(2/3, 1/3)$ — пересечение $ND$ и $PB$.
• $V_4(3/4, 1/2)$ — пересечение $PB$ и $MC$.
• $V_5(2/3, 2/3)$ — пересечение $MC$ и $NA$.
• $V_6(1/2, 3/4)$ — пересечение $NA$ и $QB$.
• $V_7(1/3, 2/3)$ — пересечение $QB$ и $MD$.
• $V_8(1/4, 1/2)$ — пересечение $MD$ и $PA$.

Площадь многоугольника с вершинами $\vec{v_i} = x_i \vec{c} + y_i \vec{a}$ можно вычислить по формуле, аналогичной формуле Гаусса (Shoelace formula):$S_{oct} = \frac{1}{2} | \sum_{i=1}^{8} (x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i) | \cdot |\vec{c} \times \vec{a}| = \frac{1}{2} | \sum_{i=1}^{8} (x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i) | \cdot S$, где $V_9 = V_1$.

Вычислим сумму:$\sum = (x_1y_2 - x_2y_1) + (x_2y_3 - x_3y_2) + \dots + (x_8y_1 - x_1y_8)$$= (\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{4} - \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}) + (\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3} - \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{4}) + (\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2} - \frac{3}{4}\cdot\frac{1}{3}) + (\frac{3}{4}\cdot\frac{2}{3} - \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}) + (\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{4} - \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}) + (\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3} - \frac{1}{3}\cdot\frac{3}{4}) + (\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2} - \frac{1}{4}\cdot\frac{2}{3}) + (\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{3} - \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2})$$= (-\frac{1}{12}) + (0) + (\frac{1}{12}) + (\frac{1}{6}) + (\frac{1}{6}) + (\frac{1}{12}) + (0) + (-\frac{1}{12})$$= \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Теперь можем найти площадь восьмиугольника:$S_{oct} = \frac{1}{2} | \frac{1}{3} | \cdot S = \frac{1}{6} S$.

Таким образом, площадь восьмиугольника составляет $1/6$ от площади всего параллелограмма.

Ответ: $1/6$.