Номер 1077, страница 149 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1077. Найдите периметр и площадь треугольника, вершинами которого являются основания высот треугольника со сторонами, равными 7 см, 8 см и 9 см.

Пусть дан треугольник $ABC$ со сторонами $a=7$ см, $b=8$ см и $c=9$ см. Треугольник, вершинами которого являются основания высот данного треугольника, называется ортотреугольником. Обозначим его вершины как $H_a, H_b, H_c$. Для нахождения его периметра и площади сначала найдем некоторые характеристики исходного треугольника $ABC$.

1. Найдем площадь треугольника $ABC$ по формуле Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ - полупериметр. Полупериметр: $p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{7+8+9}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см. Площадь: $S = \sqrt{12(12-7)(12-8)(12-9)} = \sqrt{12 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3} = \sqrt{144 \cdot 5} = 12\sqrt{5}$ см$^2$.

2. Найдем косинусы углов треугольника $ABC$ по теореме косинусов. Пусть угол $A$ лежит против стороны $a=7$, угол $B$ - против стороны $b=8$, угол $C$ - против стороны $c=9$.$\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} = \frac{8^2+9^2-7^2}{2 \cdot 8 \cdot 9} = \frac{64+81-49}{144} = \frac{96}{144} = \frac{2}{3}$.$\cos B = \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac} = \frac{7^2+9^2-8^2}{2 \cdot 7 \cdot 9} = \frac{49+81-64}{126} = \frac{66}{126} = \frac{11}{21}$.$\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} = \frac{7^2+8^2-9^2}{2 \cdot 7 \cdot 8} = \frac{49+64-81}{112} = \frac{32}{112} = \frac{2}{7}$. Так как все косинусы положительны, исходный треугольник является остроугольным.

Стороны ортотреугольника для остроугольного треугольника можно найти по формулам: $l_a = a|\cos A|$, $l_b = b|\cos B|$, $l_c = c|\cos C|$. Так как треугольник остроугольный, модули можно опустить. Вычислим длины сторон ортотреугольника:$l_1 = a \cos A = 7 \cdot \frac{2}{3} = \frac{14}{3}$ см.$l_2 = b \cos B = 8 \cdot \frac{11}{21} = \frac{88}{21}$ см.$l_3 = c \cos C = 9 \cdot \frac{2}{7} = \frac{18}{7}$ см.

Периметр ортотреугольника $P_{орт}$ равен сумме длин его сторон:$P_{орт} = l_1 + l_2 + l_3 = \frac{14}{3} + \frac{88}{21} + \frac{18}{7}$. Приведем дроби к общему знаменателю 21:$P_{орт} = \frac{14 \cdot 7}{21} + \frac{88}{21} + \frac{18 \cdot 3}{21} = \frac{98}{21} + \frac{88}{21} + \frac{54}{21} = \frac{98+88+54}{21} = \frac{240}{21}$. Сократим дробь на 3:$P_{орт} = \frac{80}{7}$ см.

Ответ: Периметр равен $\frac{80}{7}$ см.

Площадь ортотреугольника $S_{орт}$ для остроугольного треугольника вычисляется по формуле: $S_{орт} = 2S \cos A \cos B \cos C$, где $S$ - площадь исходного треугольника. Подставим найденные значения:$S_{орт} = 2 \cdot (12\sqrt{5}) \cdot \left(\frac{2}{3}\right) \cdot \left(\frac{11}{21}\right) \cdot \left(\frac{2}{7}\right)$.$S_{орт} = 24\sqrt{5} \cdot \frac{2 \cdot 11 \cdot 2}{3 \cdot 21 \cdot 7} = 24\sqrt{5} \cdot \frac{44}{441}$.$S_{орт} = \frac{24 \cdot 44 \sqrt{5}}{441} = \frac{1056\sqrt{5}}{441}$. Сократим дробь. Числитель и знаменатель делятся на 3:$1056 \div 3 = 352$.$441 \div 3 = 147$.$S_{орт} = \frac{352\sqrt{5}}{147}$ см$^2$.

Ответ: Площадь равна $\frac{352\sqrt{5}}{147}$ см$^2$.