Номер 1090, страница 150 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1090. Отрезки $AB$ и $CD$ лежат на скрещивающихся прямых, точки $M$ и $N$ — середины этих отрезков (рис. 335). Докажите, что $MN < \frac{AC + BD}{2}$.

Рис. 335

Введём радиус-векторы для точек A, B, C, D: $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$, $\vec{d}$ соответственно, с началом в произвольной точке пространства.

По условию, точка M — середина отрезка AB, а точка N — середина отрезка CD. Радиус-векторы точек M и N ($\vec{m}$ и $\vec{n}$) можно выразить через радиус-векторы концов отрезков:

$\vec{m} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$

$\vec{n} = \frac{\vec{c} + \vec{d}}{2}$

Теперь найдем вектор $\vec{MN}$, который равен разности радиус-векторов его конца и начала:

$\vec{MN} = \vec{n} - \vec{m} = \frac{\vec{c} + \vec{d}}{2} - \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} = \frac{1}{2}(\vec{c} + \vec{d} - \vec{a} - \vec{b})$.

Сгруппируем слагаемые в скобках так, чтобы получить векторы $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$:

$\vec{MN} = \frac{1}{2}((\vec{c} - \vec{a}) + (\vec{d} - \vec{b})) = \frac{1}{2}(\vec{AC} + \vec{BD})$.

Длина отрезка MN равна модулю (длине) вектора $\vec{MN}$:

$MN = |\vec{MN}| = \left|\frac{1}{2}(\vec{AC} + \vec{BD})\right| = \frac{1}{2}|\vec{AC} + \vec{BD}|$.

Воспользуемся неравенством треугольника для векторов: для любых двух векторов $\vec{x}$ и $\vec{y}$ справедливо неравенство $|\vec{x} + \vec{y}| \le |\vec{x}| + |\vec{y}|$.

Применив это неравенство к векторам $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$, получим:

$|\vec{AC} + \vec{BD}| \le |\vec{AC}| + |\vec{BD}| = AC + BD$.

Подставив это в выражение для длины MN, имеем:

$MN = \frac{1}{2}|\vec{AC} + \vec{BD}| \le \frac{1}{2}(AC + BD) = \frac{AC + BD}{2}$.

Теперь докажем, что это неравенство является строгим. Равенство в неравенстве треугольника $|\vec{x} + \vec{y}| = |\vec{x}| + |\vec{y}|$ достигается только в том случае, когда векторы $\vec{x}$ и $\vec{y}$ коллинеарны и сонаправлены. В нашей задаче это означало бы, что векторы $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$ коллинеарны.

Если векторы $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$ коллинеарны, то прямые AC и BD параллельны. Если прямые AC и BD параллельны, то все четыре точки A, C, B, D лежат в одной плоскости. Но если точки A, B, C, D лежат в одной плоскости, то и прямые, на которых лежат отрезки AB и CD, также лежат в этой плоскости. Две прямые в одной плоскости либо пересекаются, либо параллельны. Это противоречит условию задачи, согласно которому прямые, содержащие отрезки AB и CD, являются скрещивающимися (т.е. не лежат в одной плоскости).

Следовательно, векторы $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$ не могут быть коллинеарными. Это означает, что для них выполняется строгое неравенство треугольника:

$|\vec{AC} + \vec{BD}| < |\vec{AC}| + |\vec{BD}|$.

Таким образом, для длины отрезка MN также выполняется строгое неравенство:

$MN < \frac{AC + BD}{2}$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.