Номер 1092, страница 151 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1092. Точка $M$ пространства находится на расстоянии $a$ от вершин правильного шестиугольника и на расстоянии $b$ от его сторон. Найдите расстояние от точки $M$ до плоскости шестиугольника и до его меньшей диагонали.

Пусть дан правильный шестиугольник $ABCDEF$ с центром $O$. Точка $M$ в пространстве такова, что расстояния от нее до всех вершин шестиугольника равны $a$, а до всех сторон — $b$.

Так как точка $M$ равноудалена от всех вершин шестиугольника, ее проекция на плоскость шестиугольника совпадает с центром описанной окружности этого шестиугольника, то есть с точкой $O$. Расстояние от точки $M$ до плоскости шестиугольника — это длина перпендикуляра $MO$. Обозначим это расстояние как $h$, то есть $h = MO$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MOA$, где $A$ — одна из вершин шестиугольника. Катет $MO = h$, катет $OA$ равен радиусу описанной окружности $R$, а гипотенуза $MA = a$ по условию. По теореме Пифагора:
$MA^2 = MO^2 + OA^2 \implies a^2 = h^2 + R^2$ (1)

Теперь рассмотрим расстояние от точки $M$ до стороны шестиугольника, например, до стороны $AB$. Пусть $K$ — середина стороны $AB$. Тогда $OK$ — это радиус вписанной окружности $r$ (апофема), и $OK \perp AB$. По теореме о трех перпендикулярах, так как $MO \perp$ плоскости $(ABC)$ и проекция $OK \perp AB$, то и наклонная $MK \perp AB$. Следовательно, длина $MK$ и есть расстояние от точки $M$ до стороны $AB$, то есть $MK = b$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MOK$ (прямой угол при вершине $O$). Катет $MO = h$, катет $OK = r$, гипотенуза $MK = b$. По теореме Пифагора:
$MK^2 = MO^2 + OK^2 \implies b^2 = h^2 + r^2$ (2)

Для правильного шестиугольника существует связь между радиусом описанной окружности $R$ и радиусом вписанной окружности $r$: $r = R \frac{\sqrt{3}}{2}$, или $r^2 = \frac{3}{4}R^2$.

Из уравнений (1) и (2) выразим $R^2$ и $r^2$:
$R^2 = a^2 - h^2$
$r^2 = b^2 - h^2$

Подставим эти выражения в формулу, связывающую радиусы:
$b^2 - h^2 = \frac{3}{4}(a^2 - h^2)$
Умножим обе части на 4, чтобы избавиться от дроби:
$4(b^2 - h^2) = 3(a^2 - h^2)$
$4b^2 - 4h^2 = 3a^2 - 3h^2$
$4b^2 - 3a^2 = 4h^2 - 3h^2$
$h^2 = 4b^2 - 3a^2$
$h = \sqrt{4b^2 - 3a^2}$

Ответ: $\sqrt{4b^2 - 3a^2}$

Меньшая диагональ правильного шестиугольника соединяет вершины через одну, например, диагональ $AC$. Найдем расстояние от точки $M$ до прямой $AC$.

Пусть $L$ — середина диагонали $AC$. В равнобедренном треугольнике $\triangle OAC$ ($OA=OC=R$) отрезок $OL$ является медианой и высотой, следовательно, $OL \perp AC$. По теореме о трех перпендикулярах, так как $MO \perp$ плоскости $(ABC)$ и проекция $OL \perp AC$, то и наклонная $ML \perp AC$. Значит, искомое расстояние — это длина отрезка $ML$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MOL$ (прямой угол при вершине $O$). По теореме Пифагора:
$ML^2 = MO^2 + OL^2 = h^2 + OL^2$

Найдем длину $OL$. Угол между радиусами, проведенными к соседним вершинам правильного шестиугольника, равен $\frac{360^\circ}{6} = 60^\circ$. Тогда $\angle AOC = \angle AOB + \angle BOC = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ$. В прямоугольном треугольнике $\triangle OLA$ угол $\angle AOL = \frac{1}{2}\angle AOC = 60^\circ$. Тогда:
$OL = OA \cos(60^\circ) = R \cdot \frac{1}{2} = \frac{R}{2}$

Подставим это в выражение для $ML^2$:
$ML^2 = h^2 + (\frac{R}{2})^2 = h^2 + \frac{R^2}{4}$

Теперь выразим $h^2$ и $R^2$ через заданные параметры $a$ и $b$. Мы уже нашли, что $h^2 = 4b^2 - 3a^2$.
Найдем $R^2$ из уравнения (1):
$R^2 = a^2 - h^2 = a^2 - (4b^2 - 3a^2) = a^2 - 4b^2 + 3a^2 = 4a^2 - 4b^2 = 4(a^2 - b^2)$

Подставим найденные $h^2$ и $R^2$ в формулу для $ML^2$:
$ML^2 = (4b^2 - 3a^2) + \frac{4(a^2 - b^2)}{4}$
$ML^2 = 4b^2 - 3a^2 + a^2 - b^2$
$ML^2 = 3b^2 - 2a^2$
$ML = \sqrt{3b^2 - 2a^2}$

Ответ: $\sqrt{3b^2 - 2a^2}$