Номер 1095, страница 151 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1095. Точка $M$ пространства находится на расстоянии $a$ от вершин прямоугольника и на расстоянии $d$ от его плоскости. Найдите стороны прямоугольника, учитывая, что их отношение равно $k$.

Пусть дан прямоугольник, и точка $M$ в пространстве. Обозначим плоскость прямоугольника как $\alpha$. Пусть $O$ — это проекция точки $M$ на плоскость $\alpha$. По определению, расстояние от точки $M$ до плоскости $\alpha$ равно длине перпендикуляра $MO$, следовательно, $MO = d$.

По условию задачи, точка $M$ находится на одинаковом расстоянии $a$ от всех вершин прямоугольника. Обозначим вершины как $A, B, C, D$. Тогда $MA = MB = MC = MD = a$.

Рассмотрим треугольники $\triangle MOA, \triangle MOB, \triangle MOC, \triangle MOD$. Поскольку $MO$ является перпендикуляром к плоскости $\alpha$, эти треугольники являются прямоугольными с общим катетом $MO$.

Применим теорему Пифагора для одного из этих треугольников, например, для $\triangle MOA$: $MA^2 = MO^2 + OA^2$

Отсюда мы можем выразить квадрат расстояния от проекции $O$ до вершины $A$: $OA^2 = MA^2 - MO^2 = a^2 - d^2$

Так как расстояния от точки $M$ до всех вершин одинаковы ($a$), а расстояние $MO$ постоянно ($d$), то и расстояния от точки $O$ до всех вершин будут одинаковы: $OA = OB = OC = OD = \sqrt{a^2 - d^2}$

Точка в плоскости прямоугольника, равноудаленная от всех его вершин, является точкой пересечения его диагоналей. Таким образом, $O$ — центр прямоугольника, а расстояние от центра до любой вершины, например $OA$, равно половине диагонали прямоугольника.

Пусть стороны прямоугольника равны $x$ и $y$. Длина диагонали $D$ по теореме Пифагора равна $D = \sqrt{x^2 + y^2}$. Расстояние от центра до вершины (радиус описанной окружности) равно $R = \frac{D}{2}$. Мы нашли, что это расстояние равно $\sqrt{a^2 - d^2}$.

Следовательно, $\frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{2} = \sqrt{a^2 - d^2}$.

Возведя обе части в квадрат, получим: $\frac{x^2 + y^2}{4} = a^2 - d^2$

$x^2 + y^2 = 4(a^2 - d^2)$

Теперь используем второе условие задачи: отношение сторон равно $k$. Пусть $\frac{y}{x} = k$, откуда $y = kx$. Подставим это выражение в полученное уравнение:

$x^2 + (kx)^2 = 4(a^2 - d^2)$

$x^2 + k^2x^2 = 4(a^2 - d^2)$

$x^2(1 + k^2) = 4(a^2 - d^2)$

Выразим $x^2$:

$x^2 = \frac{4(a^2 - d^2)}{1 + k^2}$

Тогда одна сторона прямоугольника равна:

$x = \sqrt{\frac{4(a^2 - d^2)}{1 + k^2}} = 2\sqrt{\frac{a^2 - d^2}{1 + k^2}}$

Вторая сторона равна:

$y = kx = 2k\sqrt{\frac{a^2 - d^2}{1 + k^2}}$

Заметим, что решение существует только при $a \ge d$, что логично, так как наклонная ($a$) не может быть короче перпендикуляра ($d$).

Ответ: $2\sqrt{\frac{a^2 - d^2}{1 + k^2}}$ и $2k\sqrt{\frac{a^2 - d^2}{1 + k^2}}$.