Номер 1101, страница 152 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1101. Плоскость проходит через вершину куба и середины двух ребер (рис. 337). Найдите отношение объемов полученных частей, учитывая, что одна из них — треугольная пирамида.

Рис. 337

Пусть ребро куба равно $a$. Тогда объем всего куба $V_{\text{куба}}$ равен $a^3$.

Плоскость отсекает от куба одну из частей, которая, согласно условию, является треугольной пирамидой. Как видно из рисунка, вершинами этой пирамиды являются одна из верхних вершин куба и три точки, образующие основание: нижняя вершина, расположенная под верхней, и середины двух ребер, выходящих из этой нижней вершины.

Обозначим объем этой пирамиды как $V_1$. Объем пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot h$, где $S_{\text{осн}}$ — площадь основания, а $h$ — высота.

В нашем случае основанием пирамиды является прямоугольный треугольник, так как он лежит в грани куба, а его стороны проходят по ребрам этой грани. Катеты этого треугольника равны половине длины ребра куба, поскольку секущая плоскость проходит через середины ребер. Длина каждого катета равна $\frac{a}{2}$.

Площадь основания пирамиды $S_{\text{осн}}$ равна:$S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^2}{8}$.

Высотой пирамиды $h$ является ребро куба, перпендикулярное основанию. Таким образом, $h = a$.

Теперь можем вычислить объем пирамиды $V_1$:$V_1 = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{осн}} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2}{8} \cdot a = \frac{a^3}{24}$.

Объем второй, большей части куба ($V_2$) равен разности объема куба и объема пирамиды:$V_2 = V_{\text{куба}} - V_1 = a^3 - \frac{a^3}{24} = \frac{24a^3 - a^3}{24} = \frac{23a^3}{24}$.

Найдем отношение объемов полученных двух частей:$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{a^3}{24}}{\frac{23a^3}{24}} = \frac{1}{23}$.

Следовательно, объемы частей относятся как $1:23$.

Ответ: $1:23$.