Номер 1103, страница 152 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1103. В основании прямого параллелепипеда лежит ромб со стороной $a$. Диагонали параллелепипеда образуют с плоскостью основания углы в $30^\circ$ и $45^\circ$. Найдите:

а) высоту параллелепипеда;

б) углы ромба;

в) площадь основания параллелепипеда;

г) площади диагональных сечений параллелепипеда;

д) объем параллелепипеда.

а) высоту параллелепипеда

Пусть $H$ – высота прямого параллелепипеда, а $d_1$ и $d_2$ – диагонали ромба, лежащего в основании. Диагонали параллелепипеда, его высота и диагонали основания образуют два прямоугольных треугольника. Углы между диагоналями параллелепипеда и плоскостью основания – это острые углы в этих треугольниках. По условию, они равны $30^\circ$ и $45^\circ$.
Из соотношений в прямоугольных треугольниках имеем:
$\tan(45^\circ) = \frac{H}{d_1} \Rightarrow 1 = \frac{H}{d_1} \Rightarrow d_1 = H$.
$\tan(30^\circ) = \frac{H}{d_2} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{H}{d_2} \Rightarrow d_2 = H\sqrt{3}$.
Для диагоналей ромба со стороной $a$ справедливо равенство, вытекающее из теоремы Пифагора: $d_1^2 + d_2^2 = 4a^2$.
Подставим в это равенство выражения для $d_1$ и $d_2$ через $H$:
$H^2 + (H\sqrt{3})^2 = 4a^2$
$H^2 + 3H^2 = 4a^2$
$4H^2 = 4a^2$
$H^2 = a^2$.
Поскольку высота $H$ является положительной величиной, получаем $H=a$.
Ответ: $a$.

б) углы ромба

Зная высоту $H=a$, найдем длины диагоналей ромба:
$d_1 = H = a$
$d_2 = H\sqrt{3} = a\sqrt{3}$
Диагонали ромба делят его на четыре равных прямоугольных треугольника. Катеты этих треугольников равны половинам диагоналей: $\frac{d_1}{2} = \frac{a}{2}$ и $\frac{d_2}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$, а гипотенуза равна стороне ромба $a$.
Пусть меньший угол ромба равен $\alpha$. Тогда, по теореме косинусов для треугольника, образованного двумя сторонами ромба и меньшей диагональю:
$d_1^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos\alpha$
$a^2 = 2a^2 - 2a^2\cos\alpha$
$1 = 2 - 2\cos\alpha$
$2\cos\alpha = 1 \Rightarrow \cos\alpha = \frac{1}{2}$, откуда $\alpha = 60^\circ$.
Сумма соседних углов ромба равна $180^\circ$, поэтому второй угол равен $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.
Ответ: $60^\circ$ и $120^\circ$.

в) площадь основания параллелепипеда

Площадь основания (ромба) $S_{осн}$ можно найти по формуле через диагонали:
$S_{осн} = \frac{1}{2}d_1 d_2$.
Подставим значения $d_1 = a$ и $d_2 = a\sqrt{3}$:
$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a\sqrt{3} = \frac{a^2\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\frac{a^2\sqrt{3}}{2}$.

г) площади диагональных сечений параллелепипеда

Диагональные сечения прямого параллелепипеда являются прямоугольниками.
Первое диагональное сечение имеет стороны, равные диагонали основания $d_1$ и высоте параллелепипеда $H$. Его площадь $S_1$:
$S_1 = d_1 \cdot H = a \cdot a = a^2$.
Второе диагональное сечение имеет стороны, равные диагонали основания $d_2$ и высоте параллелепипеда $H$. Его площадь $S_2$:
$S_2 = d_2 \cdot H = a\sqrt{3} \cdot a = a^2\sqrt{3}$.
Ответ: $a^2$ и $a^2\sqrt{3}$.

д) объем параллелепипеда

Объем прямого параллелепипеда $V$ вычисляется по формуле:
$V = S_{осн} \cdot H$.
Подставим найденные значения площади основания и высоты:
$V = \frac{a^2\sqrt{3}}{2} \cdot a = \frac{a^3\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\frac{a^3\sqrt{3}}{2}$.