Номер 1036, страница 144 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1036. Две стороны треугольника равны 16 см и 52 см, а диаметр описанного около треугольника круга — 65 см (рис. 320). Найдите третью сторону, учитывая, что она в треугольнике наибольшая.

Рис. 320

Пусть в треугольнике известны две стороны $a = 16$ см, $b = 52$ см и диаметр описанной окружности $D = 65$ см. Требуется найти третью сторону $c$, которая, по условию, является наибольшей в треугольнике.

Для решения задачи воспользуемся обобщенной теоремой синусов, которая связывает стороны треугольника, противолежащие им углы ($A$, $B$, $C$) и диаметр описанной окружности:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = D$

Из этой теоремы мы можем выразить синусы углов $A$ и $B$, которые лежат напротив известных сторон $a$ и $b$:

$\sin A = \frac{a}{D} = \frac{16}{65}$

$\sin B = \frac{b}{D} = \frac{52}{65} = \frac{4 \cdot 13}{5 \cdot 13} = \frac{4}{5}$

Так как по условию сторона $c$ является наибольшей, то противолежащий ей угол $C$ также является наибольшим углом треугольника. Это означает, что два других угла, $A$ и $B$, должны быть острыми. Для острых углов их косинусы положительны. Найдем косинусы этих углов, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:

$\cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - \left(\frac{16}{65}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{256}{4225}} = \sqrt{\frac{4225 - 256}{4225}} = \sqrt{\frac{3969}{4225}} = \frac{63}{65}$

$\cos B = \sqrt{1 - \sin^2 B} = \sqrt{1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$, то есть $A + B + C = 180^\circ$. Отсюда мы можем выразить угол $C$: $C = 180^\circ - (A + B)$. Найдем синус угла $C$, используя формулу приведения и формулу синуса суммы двух углов:

$\sin C = \sin(180^\circ - (A + B)) = \sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$

Подставим ранее найденные значения синусов и косинусов углов $A$ и $B$:

$\sin C = \frac{16}{65} \cdot \frac{3}{5} + \frac{63}{65} \cdot \frac{4}{5} = \frac{48}{325} + \frac{252}{325} = \frac{48 + 252}{325} = \frac{300}{325}$

Сократим полученную дробь: $\frac{300}{325} = \frac{12 \cdot 25}{13 \cdot 25} = \frac{12}{13}$.

Теперь, зная значение $\sin C$, мы можем найти длину третьей стороны $c$ из обобщенной теоремы синусов:

$c = D \cdot \sin C = 65 \cdot \frac{12}{13} = \frac{65}{13} \cdot 12 = 5 \cdot 12 = 60$ см.

Проверим, выполняется ли условие задачи: полученная сторона $c = 60$ см больше двух других сторон ($60 > 52$ и $60 > 16$), следовательно, она является наибольшей. Условие выполнено.

Ответ: 60 см.