Номер 1034, страница 143 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1034. Докажите, что в любом четырехугольнике сумма квадратов диагоналей вдвое больше суммы квадратов отрезков, соединяющих середины противоположных сторон.

Пусть $ABCD$ — произвольный четырехугольник. Обозначим $d_1$ и $d_2$ его диагонали, то есть $d_1 = AC$ и $d_2 = BD$.

Пусть $M, N, P, Q$ — середины сторон $AB, BC, CD, DA$ соответственно. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, — это $MP$ и $NQ$. Нам нужно доказать, что $AC^2 + BD^2 = 2(MP^2 + NQ^2)$.

Рассмотрим четырехугольник $MNPQ$.

1. В треугольнике $ABC$ отрезок $MN$ является средней линией. По свойству средней линии, он параллелен стороне $AC$ и равен ее половине: $MN \parallel AC$ и $MN = \frac{1}{2}AC$.

2. В треугольнике $ADC$ отрезок $PQ$ является средней линией. Следовательно, $PQ \parallel AC$ и $PQ = \frac{1}{2}AC$.

Из пунктов 1 и 2 следует, что $MN \parallel PQ$ и $MN = PQ$. Четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны и равны, является параллелограммом. Таким образом, $MNPQ$ — параллелограмм (этот факт известен как теорема Вариньона).

3. Аналогично, в треугольнике $ABD$ отрезок $MQ$ является средней линией, поэтому $MQ \parallel BD$ и $MQ = \frac{1}{2}BD$.

4. В треугольнике $BCD$ отрезок $NP$ является средней линией, поэтому $NP \parallel BD$ и $NP = \frac{1}{2}BD$.

Отрезки $MP$ и $NQ$ являются диагоналями параллелограмма $MNPQ$. Для любого параллелограмма справедливо тождество: сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон.

Применительно к параллелограмму $MNPQ$ это тождество выглядит так:

$MP^2 + NQ^2 = MN^2 + NP^2 + PQ^2 + QM^2$

Теперь подставим в это равенство выражения для длин сторон $MNPQ$ через длины диагоналей исходного четырехугольника $ABCD$:

$MP^2 + NQ^2 = \left(\frac{1}{2}AC\right)^2 + \left(\frac{1}{2}BD\right)^2 + \left(\frac{1}{2}AC\right)^2 + \left(\frac{1}{2}BD\right)^2$

Упростим полученное выражение:

$MP^2 + NQ^2 = \frac{1}{4}AC^2 + \frac{1}{4}BD^2 + \frac{1}{4}AC^2 + \frac{1}{4}BD^2$

$MP^2 + NQ^2 = 2 \cdot \left(\frac{1}{4}AC^2\right) + 2 \cdot \left(\frac{1}{4}BD^2\right)$

$MP^2 + NQ^2 = \frac{1}{2}AC^2 + \frac{1}{2}BD^2$

Умножим обе части равенства на 2:

$2(MP^2 + NQ^2) = AC^2 + BD^2$

Это и есть то, что требовалось доказать: сумма квадратов диагоналей ($AC^2 + BD^2$) вдвое больше суммы квадратов отрезков, соединяющих середины противоположных сторон ($MP^2 + NQ^2$).

Ответ: Утверждение доказано. Для любого четырехугольника выполняется равенство $d_1^2 + d_2^2 = 2(m_1^2 + m_2^2)$, где $d_1, d_2$ — длины диагоналей, а $m_1, m_2$ — длины отрезков, соединяющих середины противоположных сторон.