Номер 1028, страница 143 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1028. Стороны треугольника относятся как 13 : 14 : 15. Учитывая, что средняя по длине высота равна 24 см, найдите радиус окружности, описанной около треугольника.

Пусть стороны треугольника равны $a, b$ и $c$. Согласно условию, их длины относятся как $13 : 14 : 15$. Введем коэффициент пропорциональности $x > 0$, тогда стороны можно записать как $a = 13x$, $b = 14x$ и $c = 15x$.

Площадь треугольника $S$ можно выразить через любую сторону и высоту, проведенную к ней. Обозначим высоты, проведенные к сторонам $a, b, c$ как $h_a, h_b, h_c$ соответственно. Тогда $S = \frac{1}{2}ah_a = \frac{1}{2}bh_b = \frac{1}{2}ch_c$. Из этого следует, что высоты обратно пропорциональны сторонам: чем длиннее сторона, тем короче проведенная к ней высота. Так как стороны относятся как $13 : 14 : 15$, то есть $a < b < c$, то высоты будут находиться в обратном соотношении: $h_a > h_b > h_c$.

Средней по длине высоте $h_b$ соответствует средняя по длине сторона $b$. По условию, средняя по длине высота равна 24 см, следовательно, $h_b = 24$ см.

Найдем площадь треугольника $S$ двумя способами.
1. С помощью формулы Герона.
Полупериметр $p$ равен:
$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{13x + 14x + 15x}{2} = \frac{42x}{2} = 21x$.
Площадь по формуле Герона:
$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{21x(21x-13x)(21x-14x)(21x-15x)}$
$S = \sqrt{21x \cdot 8x \cdot 7x \cdot 6x} = \sqrt{(3 \cdot 7) \cdot (2^3) \cdot 7 \cdot (2 \cdot 3) \cdot x^4} = \sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^2 \cdot x^4}$
$S = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot x^2 = 84x^2$.

2. Через сторону $b$ и высоту $h_b$.
$S = \frac{1}{2}bh_b = \frac{1}{2} \cdot (14x) \cdot 24 = 7x \cdot 24 = 168x$.

Теперь приравняем два полученных выражения для площади, чтобы найти коэффициент $x$:
$84x^2 = 168x$
Поскольку $x > 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $84x$:
$x = \frac{168}{84} = 2$.

Зная $x$, найдем длины сторон треугольника и его площадь:
$a = 13x = 13 \cdot 2 = 26$ см
$b = 14x = 14 \cdot 2 = 28$ см
$c = 15x = 15 \cdot 2 = 30$ см
$S = 168x = 168 \cdot 2 = 336$ см$^2$.

Радиус $R$ описанной около треугольника окружности вычисляется по формуле:
$R = \frac{abc}{4S}$.
Подставим найденные значения сторон и площади:
$R = \frac{26 \cdot 28 \cdot 30}{4 \cdot 336}$.
Упростим выражение:
$R = \frac{26 \cdot 28 \cdot 30}{4 \cdot (12 \cdot 28)} = \frac{26 \cdot 30}{4 \cdot 12} = \frac{26 \cdot 30}{48} = \frac{13 \cdot 30}{24} = \frac{13 \cdot 5}{4} = \frac{65}{4} = 16.25$ см.

Ответ: 16.25 см.