Номер 1023, страница 142 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1023. Диагонали разделяют параллелограмм на четыре треугольника. Найдите стороны параллелограмма, учитывая, что его периметр равен 30 м, а разность между периметрами двух соседних треугольников — 9 м.

Пусть стороны параллелограмма равны $a$ и $b$. Периметр параллелограмма $P$ вычисляется по формуле $P = 2(a + b)$.

Согласно условию, периметр равен 30 м, что дает нам первое уравнение:

$2(a + b) = 30$

$a + b = 15$

Диагонали параллелограмма в точке пересечения $O$ делятся пополам. Они разделяют параллелограмм на четыре треугольника. Рассмотрим два соседних треугольника, образованных сторонами $a$ и $b$ и половинами диагоналей.

Пусть $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей. Тогда стороны одного треугольника равны $a$, $\frac{d_1}{2}$ и $\frac{d_2}{2}$, а его периметр $P_1$ равен:

$P_1 = a + \frac{d_1}{2} + \frac{d_2}{2}$

Стороны соседнего с ним треугольника равны $b$, $\frac{d_1}{2}$ и $\frac{d_2}{2}$, а его периметр $P_2$ равен:

$P_2 = b + \frac{d_1}{2} + \frac{d_2}{2}$

Разность периметров этих двух треугольников равна:

$P_2 - P_1 = (b + \frac{d_1}{2} + \frac{d_2}{2}) - (a + \frac{d_1}{2} + \frac{d_2}{2}) = b - a$

По условию, эта разность равна 9 м. Таким образом, получаем второе уравнение (будем считать, что $b$ — большая сторона):

$b - a = 9$

Теперь решим систему из двух уравнений:

$\begin{cases} a + b = 15 \\ b - a = 9 \end{cases}$

Сложим эти два уравнения:

$(a + b) + (b - a) = 15 + 9$

$2b = 24$

$b = 12 \text{ м}$

Подставим значение $b$ в первое уравнение, чтобы найти $a$:

$a + 12 = 15$

$a = 15 - 12$

$a = 3 \text{ м}$

Следовательно, стороны параллелограмма равны 3 м и 12 м.

Ответ: 3 м и 12 м.