Номер 1029, страница 143 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1029. Длины перпендикуляров, опущенных из выбранной точки на прямые, содержащие стороны угла, и отрезка, соединяющего основания этих перпендикуляров, относятся как $5 : 8 : 7$ (рис. 319). Найдите величину угла.

Рис. 319

Пусть O — вершина искомого угла, а M — выбранная точка. Пусть MP и MQ — перпендикуляры, опущенные из точки M на стороны угла, где P и Q — основания перпендикуляров, лежащие на сторонах угла.

По условию, длины перпендикуляров MP и MQ, а также длина отрезка PQ, соединяющего их основания, относятся как 5 : 8 : 7. Это означает, что мы можем рассмотреть треугольник PMQ, стороны которого равны:
$MP = 5k$
$MQ = 8k$
$PQ = 7k$
где $k$ — некоторый коэффициент пропорциональности.

Рассмотрим четырехугольник OPMQ. По построению, углы при основаниях перпендикуляров прямые:
$\angle OPM = 90^\circ$
$\angle OQM = 90^\circ$

Сумма углов в любом четырехугольнике равна $360^\circ$. Для четырехугольника OPMQ имеем:
$\angle POQ + \angle OPM + \angle PMQ + \angle OQM = 360^\circ$

Подставим известные значения углов:
$\angle POQ + 90^\circ + \angle PMQ + 90^\circ = 360^\circ$
$\angle POQ + \angle PMQ = 360^\circ - 180^\circ$
$\angle POQ + \angle PMQ = 180^\circ$

Из этого соотношения следует, что искомый угол $\angle POQ$ и угол $\angle PMQ$ в сумме дают $180^\circ$. Чтобы найти $\angle POQ$, нам нужно найти величину угла $\angle PMQ$.

Найдем $\angle PMQ$ из треугольника PMQ, используя теорему косинусов для стороны PQ:
$PQ^2 = MP^2 + MQ^2 - 2 \cdot MP \cdot MQ \cdot \cos(\angle PMQ)$

Подставим длины сторон, выраженные через коэффициент $k$:
$(7k)^2 = (5k)^2 + (8k)^2 - 2 \cdot (5k) \cdot (8k) \cdot \cos(\angle PMQ)$
$49k^2 = 25k^2 + 64k^2 - 80k^2 \cdot \cos(\angle PMQ)$
$49k^2 = 89k^2 - 80k^2 \cdot \cos(\angle PMQ)$

Разделим обе части уравнения на $k^2$ (при условии, что $k \neq 0$):
$49 = 89 - 80 \cdot \cos(\angle PMQ)$
$80 \cdot \cos(\angle PMQ) = 89 - 49$
$80 \cdot \cos(\angle PMQ) = 40$
$\cos(\angle PMQ) = \frac{40}{80} = \frac{1}{2}$

Угол, косинус которого равен $\frac{1}{2}$, составляет $60^\circ$. Таким образом:
$\angle PMQ = 60^\circ$

Теперь мы можем найти искомый угол $\angle POQ$:
$\angle POQ = 180^\circ - \angle PMQ = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$

Ответ: $120^\circ$