Номер 1032, страница 143 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1032. Найдите биссектрису угла $A$ треугольника $ABC$, в котором $AB = 3$ см, $AC = 6$ см и $\angle BAC = 120^\circ$.

Пусть в треугольнике $ABC$ даны стороны $AB = 3$ см, $AC = 6$ см и угол между ними $\angle BAC = 120^\circ$. Проведем биссектрису $AD$ угла $A$. Обозначим ее длину как $l_a$.

Биссектриса $AD$ делит угол $\angle BAC$ на два равных угла: $\angle BAD = \angle CAD = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$.

Для нахождения длины биссектрисы воспользуемся методом площадей. Площадь треугольника $ABC$ равна сумме площадей треугольников $ABD$ и $ACD$, на которые биссектриса делит исходный треугольник. $S_{ABC} = S_{ABD} + S_{ACD}$

Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}ab \sin \gamma$, где $a$ и $b$ — две стороны треугольника, а $\gamma$ — угол между ними.

1. Найдем площадь треугольника $ABC$: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(\angle BAC) = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 6 \cdot \sin(120^\circ)$. Так как $\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, то: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{9\sqrt{3}}{2}$ см$^2$.

2. Выразим площади треугольников $ABD$ и $ACD$ через искомую длину биссектрисы $l_a = AD$: $S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD \cdot \sin(\angle BAD) = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot l_a \cdot \sin(60^\circ) = \frac{3l_a}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{4}l_a$. $S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AD \cdot \sin(\angle CAD) = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot l_a \cdot \sin(60^\circ) = 3l_a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}l_a$.

3. Подставим выражения для площадей в исходное равенство: $\frac{9\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{4}l_a + \frac{3\sqrt{3}}{2}l_a$.

4. Решим уравнение относительно $l_a$: $\frac{9\sqrt{3}}{2} = (\frac{3\sqrt{3}}{4} + \frac{6\sqrt{3}}{4})l_a$ $\frac{9\sqrt{3}}{2} = \frac{9\sqrt{3}}{4}l_a$ $l_a = \frac{9\sqrt{3}}{2} \div \frac{9\sqrt{3}}{4} = \frac{9\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{4}{9\sqrt{3}} = 2$.

Таким образом, длина биссектрисы угла $A$ составляет 2 см.

Ответ: 2 см.