Номер 1117, страница 154 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1117. Основанием призмы с боковым ребром 5 см является равнобедренная трапеция. Диагональные сечения перпендикулярны плоскости основания и образуют с непараллельными гранями призмы углы в $50^\circ 15'$ и $39^\circ 45'$ (рис. 341). Найдите объем призмы, учитывая, что площадь диагонального сечения равна 30 см².

Рис. 341

Поскольку диагональные сечения призмы перпендикулярны плоскости основания, данная призма является прямой. Высота прямой призмы $H$ равна ее боковому ребру, следовательно, $H = 5$ см.

Основанием призмы является равнобедренная трапеция. Пусть это будет трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. В равнобедренной трапеции диагонали равны, $AC = BD$. Обозначим длину диагонали как $d$.

Диагональное сечение прямой призмы представляет собой прямоугольник, сторонами которого являются диагональ основания и боковое ребро (высота) призмы. Площадь диагонального сечения $S_{сеч}$ равна произведению длины диагонали основания $d$ на высоту призмы $H$.

Из условия известно, что $S_{сеч} = 30$ см² и $H = 5$ см. Найдем длину диагонали основания: $S_{сеч} = d \cdot H$ $30 = d \cdot 5$ $d = \frac{30}{5} = 6$ см.

Угол между плоскостью диагонального сечения и плоскостью боковой грани, проходящей через непараллельную сторону трапеции, для прямой призмы равен углу между диагональю основания и этой непараллельной стороной.

Пусть углы, указанные в условии, — это углы, которые образуют диагональные сечения с боковой гранью, содержащей сторону $CD$ трапеции. То есть, угол между сечением $ACC'A'$ и гранью $CDD'C'$ равен $\angle ACD = 50^\circ15'$, а угол между сечением $BDD'B'$ и той же гранью $CDD'C'$ равен $\angle BDC = 39^\circ45'$.

Рассмотрим треугольник $\triangle OCD$, образованный отрезками диагоналей и стороной $CD$, где $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$. В этом треугольнике углы при стороне $CD$ равны: $\angle OCD = \angle ACD = 50^\circ15'$ $\angle ODC = \angle BDC = 39^\circ45'$

Найдем угол $\angle COD$ между диагоналями трапеции, используя свойство о сумме углов треугольника: $\angle COD = 180^\circ - (\angle OCD + \angle ODC)$ Вычислим сумму известных углов: $50^\circ15' + 39^\circ45' = 89^\circ60' = 90^\circ$ Тогда: $\angle COD = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$

Это означает, что диагонали трапеции взаимно перпендикулярны. Площадь любого четырехугольника, диагонали которого перпендикулярны, можно найти по формуле: $S = \frac{1}{2} d_1 d_2$ Для нашей равнобедренной трапеции $d_1 = d_2 = d = 6$ см. Таким образом, площадь основания призмы $S_{осн}$ равна: $S_{осн} = \frac{1}{2} d^2 = \frac{1}{2} \cdot 6^2 = \frac{1}{2} \cdot 36 = 18$ см².

Объем призмы $V$ вычисляется как произведение площади основания на высоту: $V = S_{осн} \cdot H$ $V = 18 \text{ см}^2 \cdot 5 \text{ см} = 90 \text{ см}^3$.

Ответ: $90 \text{ см}^3$.