Номер 1121, страница 155 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1121. Найдите расстояние от диагонали куба до его ребра, которое с этой диагональю не лежит в одной плоскости, учитывая, что ребро куба равно $a$.

Рис. 342

Для нахождения расстояния между диагональю куба и скрещивающимся с ней ребром воспользуемся методом координат.

Пусть ребро куба равно $a$. Введем прямоугольную систему координат так, чтобы вершина A куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ находилась в начале координат, а ребра AD, AB и AA₁ лежали на осях Ox, Oy и Oz соответственно.

В этой системе координат вершины куба будут иметь следующие координаты:

• A(0, 0, 0)
• B(0, a, 0)
• D(a, 0, 0)
• A₁(0, 0, a)
• C₁(a, a, a)
• D₁(a, 0, a)

Рассмотрим диагональ куба $AC_1$ и ребро $A_1D_1$. Эти прямые являются скрещивающимися, так как они не пересекаются и не параллельны (не лежат в одной плоскости). Расстояние между скрещивающимися прямыми можно найти как расстояние от любой точки одной прямой до плоскости, проходящей через другую прямую параллельно первой.

1. Построение параллельной плоскости.Найдем уравнение плоскости $\Pi$, которая проходит через ребро $A_1D_1$ и параллельна диагонали $AC_1$.

Направляющий вектор диагонали $AC_1$ равен $\vec{v}_1 = \vec{AC_1} = (a-0, a-0, a-0) = (a, a, a)$. Для упрощения расчетов можно взять коллинеарный ему вектор $\vec{d}_1 = (1, 1, 1)$.

Направляющий вектор ребра $A_1D_1$ равен $\vec{v}_2 = \vec{A_1D_1} = (a-0, 0-0, a-a) = (a, 0, 0)$. Возьмем коллинеарный вектор $\vec{d}_2 = (1, 0, 0)$.

Нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости $\Pi$ будет перпендикулярен обоим направляющим векторам $\vec{d}_1$ и $\vec{d}_2$. Найдем его как их векторное произведение:$\vec{n} = \vec{d}_1 \times \vec{d}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot 0 - 1 \cdot 0) - \mathbf{j}(1 \cdot 0 - 1 \cdot 1) + \mathbf{k}(1 \cdot 0 - 1 \cdot 1) = 0\mathbf{i} + 1\mathbf{j} - 1\mathbf{k} = (0, 1, -1)$.

Уравнение плоскости $\Pi$ имеет вид $A x + B y + C z + D = 0$, где $(A, B, C)$ — координаты нормального вектора. Получаем:$0 \cdot x + 1 \cdot y - 1 \cdot z + D = 0 \implies y - z + D = 0$.

Так как плоскость проходит через ребро $A_1D_1$, она содержит любую точку этого ребра, например, точку $A_1(0, 0, a)$. Подставим ее координаты в уравнение плоскости, чтобы найти коэффициент $D$:$0 - a + D = 0 \implies D = a$.

Итак, уравнение плоскости $\Pi$: $y - z + a = 0$.

2. Нахождение расстояния.Теперь найдем расстояние от диагонали $AC_1$ до плоскости $\Pi$. Поскольку диагональ параллельна плоскости, это расстояние равно расстоянию от любой точки прямой $AC_1$ до плоскости $\Pi$. Удобнее всего взять точку A(0, 0, 0).

Расстояние $d$ от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$ вычисляется по формуле:$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

Подставляем координаты точки A(0, 0, 0) и параметры плоскости $y - z + a = 0$ (A=0, B=1, C=-1, D=a):$d = \frac{|0 \cdot 0 + 1 \cdot 0 - 1 \cdot 0 + a|}{\sqrt{0^2 + 1^2 + (-1)^2}} = \frac{|a|}{\sqrt{1 + 1}} = \frac{a}{\sqrt{2}}$.

Избавившись от иррациональности в знаменателе, получаем окончательный результат:$d = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{a\sqrt{2}}{2}$.