Номер 1125, страница 155 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1125. От правильной треугольной призмы с ребром основания $a$ и высотой $h$ отрезали две части и получили наклонную треугольную призму с боковым ребром $b$ (рис. 343). Найдите боковую поверхность наклонной призмы.

Рис. 343

Для нахождения боковой поверхности наклонной призмы воспользуемся формулой:

$S_{бок} = P_{\perp} \cdot l$

где $l$ — длина бокового ребра, а $P_{\perp}$ — периметр сечения призмы, перпендикулярного ее боковым ребрам.

По условию задачи, исходная призма была правильной, то есть прямой, с ребром основания $a$ и высотой $h$. После того как от нее отрезали две части, получили наклонную призму с боковым ребром $b$. Будем считать, что основания полученной наклонной призмы лежат в тех же параллельных плоскостях, что и у исходной. Это означает, что высота наклонной призмы также равна $h$.

Объем призмы можно вычислить двумя способами:

1. Через площадь основания $S_{осн}$ и высоту $h$: $V = S_{осн} \cdot h$.
2. Через площадь перпендикулярного сечения $S_{\perp}$ и длину бокового ребра $l$: $V = S_{\perp} \cdot l$.

Приравнивая эти два выражения для объема и учитывая, что $l=b$, получаем:

$S_{осн} \cdot h = S_{\perp} \cdot b$

Основанием призмы является правильный (равносторонний) треугольник со стороной $a$. Его площадь равна:

$S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

Подставим это выражение в наше равенство:

$\frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \cdot h = S_{\perp} \cdot b$

Отсюда можно выразить площадь перпендикулярного сечения $S_{\perp}$:

$S_{\perp} = \frac{a^2 h \sqrt{3}}{4b}$

Так как исходная призма была правильной, ее основание — правильный треугольник. Логично предположить, что преобразование к наклонной призме было произведено симметрично, и поэтому перпендикулярное сечение наклонной призмы также является правильным треугольником. Обозначим сторону этого треугольника как $a_{\perp}$.

Площадь этого правильного треугольника выражается формулой:

$S_{\perp} = \frac{a_{\perp}^2 \sqrt{3}}{4}$

Теперь приравняем два полученных выражения для $S_{\perp}$:

$\frac{a_{\perp}^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{a^2 h \sqrt{3}}{4b}$

Сокращая одинаковые множители $(\frac{\sqrt{3}}{4})$, получаем:

$a_{\perp}^2 = \frac{a^2 h}{b}$

Откуда находим сторону перпендикулярного сечения:

$a_{\perp} = \sqrt{\frac{a^2 h}{b}} = a\sqrt{\frac{h}{b}}$

Периметр перпендикулярного сечения $P_{\perp}$ равен сумме длин его сторон:

$P_{\perp} = 3a_{\perp} = 3a\sqrt{\frac{h}{b}}$

Наконец, находим боковую поверхность наклонной призмы, подставляя $P_{\perp}$ и $l=b$ в исходную формулу:

$S_{бок} = P_{\perp} \cdot b = \left(3a\sqrt{\frac{h}{b}}\right) \cdot b = 3a \frac{\sqrt{h}}{\sqrt{b}} \cdot b = 3a\sqrt{h}\sqrt{b} = 3a\sqrt{hb}$

Ответ: $3a\sqrt{hb}$.