Номер 1131, страница 156 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1131. В основании четырехугольной пирамиды лежит ромб. Две боковые грани, образующие двугранный угол в $120^\circ$, перпендикулярны плоскости основания, а две другие наклонены к ней под углом $30^\circ$. Найдите боковую и полную поверхности пирамиды, учитывая, что ее высота равна $H$.

Пусть дана четырехугольная пирамида $S.ABCD$, в основании которой лежит ромб $ABCD$. Высота пирамиды равна $H$.

По условию, две боковые грани перпендикулярны плоскости основания. Пусть это грани $(SAB)$ и $(SAD)$. Если две плоскости перпендикулярны третьей плоскости, то линия их пересечения также перпендикулярна этой плоскости. Линией пересечения граней $(SAB)$ и $(SAD)$ является боковое ребро $SA$. Следовательно, ребро $SA$ перпендикулярно плоскости основания $(ABCD)$, и его длина является высотой пирамиды, то есть $SA = H$.

Двугранный угол между этими гранями, $(SAB)$ и $(SAD)$, равен $120^\circ$. Так как ребро $SA$ перпендикулярно плоскости основания, то ребра $AB$ и $AD$, лежащие в основании, перпендикулярны ребру $SA$. Следовательно, угол между ребрами $AB$ и $AD$, то есть $\angle BAD$, является линейным углом данного двугранного угла. Таким образом, $\angle BAD = 120^\circ$.

Поскольку $ABCD$ — ромб, то его соседние углы в сумме дают $180^\circ$. Значит, $\angle ABC = \angle ADC = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Две другие боковые грани, $(SBC)$ и $(SCD)$, наклонены к плоскости основания под углом $30^\circ$. Угол наклона грани к плоскости основания — это двугранный угол между ними.

Рассмотрим грань $(SBC)$. Для нахождения линейного угла двугранного угла при ребре $BC$ проведем из точки $A$ (основания высоты) перпендикуляр $AK$ к стороне $BC$. Так как $SA$ — перпендикуляр к плоскости $(ABCD)$, а $AK$ — проекция наклонной $SK$ на эту плоскость, и $AK \perp BC$, то по теореме о трех перпендикулярах $SK \perp BC$. Следовательно, $\angle SKA$ является линейным углом двугранного угла между гранью $(SBC)$ и основанием. По условию, $\angle SKA = 30^\circ$.

Аналогично для грани $(SCD)$: проведем перпендикуляр $AM$ к стороне $CD$. Тогда $SM \perp CD$, и $\angle SMA$ — линейный угол двугранного угла при ребре $CD$. По условию, $\angle SMA = 30^\circ$.

Теперь найдем элементы ромба и пирамиды. Из прямоугольного треугольника $\triangle SAK$ ($SA \perp AK$): $AK = \frac{SA}{\tan(\angle SKA)} = \frac{H}{\tan(30^\circ)} = \frac{H}{1/\sqrt{3}} = H\sqrt{3}$.

$AK$ является высотой ромба $ABCD$, проведенной из вершины $A$ к стороне $BC$. Пусть сторона ромба равна $a$. Из $\triangle ABK$ (где $\angle AKB = 90^\circ$): $AK = AB \cdot \sin(\angle ABC) = a \cdot \sin(60^\circ) = a\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Приравнивая два выражения для $AK$, получаем: $H\sqrt{3} = a\frac{\sqrt{3}}{2} \implies a = 2H$.

Итак, сторона ромба $a = 2H$.

Найдем боковую поверхность пирамиды.

Боковая поверхность $S_{бок}$ состоит из площадей четырех треугольников: $S_{SAB}$, $S_{SAD}$, $S_{SBC}$ и $S_{SCD}$.

1. Грани $SAB$ и $SAD$ — прямоугольные треугольники, так как $SA \perp AB$ и $SA \perp AD$. $S_{SAB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot SA = \frac{1}{2} \cdot a \cdot H = \frac{1}{2} \cdot 2H \cdot H = H^2$. $S_{SAD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot SA = \frac{1}{2} \cdot a \cdot H = \frac{1}{2} \cdot 2H \cdot H = H^2$.

2. Для граней $SBC$ и $SCD$ найдем апофемы (высоты) $SK$ и $SM$. Из прямоугольного треугольника $\triangle SAK$: $SK = \frac{SA}{\sin(\angle SKA)} = \frac{H}{\sin(30^\circ)} = \frac{H}{1/2} = 2H$. Так как ромб симметричен относительно диагонали $AC$, то $\triangle SAK \cong \triangle SAM$, и $SM = SK = 2H$. $S_{SBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot SK = \frac{1}{2} \cdot a \cdot SK = \frac{1}{2} \cdot 2H \cdot 2H = 2H^2$. $S_{SCD} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot SM = \frac{1}{2} \cdot a \cdot SM = \frac{1}{2} \cdot 2H \cdot 2H = 2H^2$.

3. Суммируем площади боковых граней: $S_{бок} = S_{SAB} + S_{SAD} + S_{SBC} + S_{SCD} = H^2 + H^2 + 2H^2 + 2H^2 = 6H^2$.

Ответ: Боковая поверхность пирамиды равна $6H^2$.

Найдем полную поверхность пирамиды.

Полная поверхность $S_{полн}$ равна сумме боковой поверхности и площади основания $S_{осн}$.

Площадь основания (ромба) можно найти по формуле $S_{осн} = a^2 \cdot \sin(\alpha)$, где $\alpha$ — угол между сторонами. $S_{осн} = a^2 \cdot \sin(\angle ABC) = (2H)^2 \cdot \sin(60^\circ) = 4H^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}H^2$.

Теперь найдем полную поверхность: $S_{полн} = S_{бок} + S_{осн} = 6H^2 + 2\sqrt{3}H^2 = 2H^2(3 + \sqrt{3})$.

Ответ: Полная поверхность пирамиды равна $2H^2(3 + \sqrt{3})$.