Номер 1134, страница 156 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1134. Двугранные углы при основании четырехугольной пирамиды с высотой 17,92 см равны. Плоскость, параллельная основанию, пересекает пирамиду по ромбу с диагоналями 7 см и 24 см (рис. 345). Найдите полную поверхность и объем усеченной пирамиды, учитывая, что площадь сечения составляет $ \frac{1}{4} $ площади основания.

Рис. 345

Пусть $S_1$ и $S_2$ – площади нижнего и верхнего оснований усеченной пирамиды, а $H$ – высота полной пирамиды, $H = 17,92$ см. Верхнее основание (сечение) представляет собой ромб с диагоналями $d'_1 = 7$ см и $d'_2 = 24$ см. Найдем площадь верхнего основания $S_2$:$S_2 = \frac{1}{2} d'_1 d'_2 = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 24 = 84$ см².

По условию, площадь сечения составляет $\frac{1}{4}$ площади основания, то есть $S_2 = \frac{1}{4} S_1$. Отсюда находим площадь нижнего основания $S_1$:$S_1 = 4 S_2 = 4 \cdot 84 = 336$ см².

Так как сечение параллельно основанию, основания являются подобными фигурами. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия $k$:$\frac{S_2}{S_1} = k^2 \Rightarrow k^2 = \frac{1}{4} \Rightarrow k = \frac{1}{2}$.

Линейные размеры оснований относятся так же, как коэффициент подобия. Найдем диагонали нижнего основания $d_1$ и $d_2$:$d_1 = \frac{d'_1}{k} = \frac{7}{1/2} = 14$ см.$d_2 = \frac{d'_2}{k} = \frac{24}{1/2} = 48$ см.

Найдем стороны оснований, используя свойство диагоналей ромба (они перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам).Сторона верхнего основания $a_2$:$a_2 = \sqrt{(\frac{d'_1}{2})^2 + (\frac{d'_2}{2})^2} = \sqrt{(\frac{7}{2})^2 + (\frac{24}{2})^2} = \sqrt{3.5^2 + 12^2} = \sqrt{12.25 + 144} = \sqrt{156.25} = 12.5$ см. Сторона нижнего основания $a_1$:$a_1 = \frac{a_2}{k} = \frac{12.5}{1/2} = 25$ см.

Отношение высот отсеченной пирамиды ($H'$) и полной пирамиды ($H$) также равно коэффициенту подобия:$\frac{H'}{H} = k = \frac{1}{2} \Rightarrow H' = \frac{1}{2} H = \frac{17,92}{2} = 8,96$ см. Высота усеченной пирамиды $h_{ус}$ равна разности высот полной и отсеченной пирамид:$h_{ус} = H - H' = 17,92 - 8,96 = 8,96$ см.

Объем усеченной пирамиды вычисляется по формуле:$V_{ус} = \frac{1}{3} h_{ус} (S_1 + \sqrt{S_1 S_2} + S_2)$. Подставляем известные значения:$V_{ус} = \frac{1}{3} \cdot 8,96 \cdot (336 + \sqrt{336 \cdot 84} + 84)$.$\sqrt{336 \cdot 84} = \sqrt{4 \cdot 84 \cdot 84} = 2 \cdot 84 = 168$.$V_{ус} = \frac{1}{3} \cdot 8,96 \cdot (336 + 168 + 84) = \frac{1}{3} \cdot 8,96 \cdot 588 = 8,96 \cdot 196 = 1756,16$ см³.

Ответ: $1756,16$ см³.

Полная поверхность усеченной пирамиды равна сумме площадей оснований и площади боковой поверхности: $S_{полн} = S_1 + S_2 + S_{бок}$. Поскольку двугранные углы при основании пирамиды равны, вершина пирамиды проецируется в центр вписанной в основание окружности, а апофемы всех боковых граней равны. Найдем радиус вписанной в нижнее основание окружности $r_1$. Площадь ромба также выражается через сторону и высоту ($h_a$): $S_1 = a_1 \cdot h_a$. Высота ромба равна диаметру вписанной окружности: $h_a = 2r_1$.$r_1 = \frac{S_1}{2a_1} = \frac{336}{2 \cdot 25} = \frac{336}{50} = 6,72$ см.

Апофема полной пирамиды $L$ находится из прямоугольного треугольника, образованного высотой пирамиды $H$ и радиусом вписанной окружности $r_1$:$L = \sqrt{H^2 + r_1^2} = \sqrt{17,92^2 + 6,72^2}$. Заметим, что $17,92 = 2,24 \cdot 8$ и $6,72 = 2,24 \cdot 3$.$L = \sqrt{(2,24 \cdot 8)^2 + (2,24 \cdot 3)^2} = \sqrt{2,24^2 \cdot (8^2 + 3^2)} = 2,24 \sqrt{64 + 9} = 2,24 \sqrt{73}$ см.

Апофема усеченной пирамиды $l_{ус}$ равна разности апофем полной и отсеченной пирамид. Апофема отсеченной пирамиды $L' = L \cdot k$.$l_{ус} = L - L' = L(1-k) = 2,24\sqrt{73} \cdot (1 - \frac{1}{2}) = 1,12\sqrt{73}$ см.

Площадь боковой поверхности усеченной пирамиды: $S_{бок} = \frac{1}{2}(P_1 + P_2) \cdot l_{ус}$, где $P_1$ и $P_2$ – периметры оснований.$P_1 = 4a_1 = 4 \cdot 25 = 100$ см.$P_2 = 4a_2 = 4 \cdot 12,5 = 50$ см.$S_{бок} = \frac{1}{2}(100 + 50) \cdot 1,12\sqrt{73} = \frac{1}{2} \cdot 150 \cdot 1,12\sqrt{73} = 75 \cdot 1,12\sqrt{73} = 84\sqrt{73}$ см².

Теперь найдем полную поверхность:$S_{полн} = S_1 + S_2 + S_{бок} = 336 + 84 + 84\sqrt{73} = 420 + 84\sqrt{73}$ см².

Ответ: $420 + 84\sqrt{73}$ см².