Номер 1139, страница 157 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1139. В правильной шестиугольной пирамиде с ребром основания $a$ меньшее диагональное сечение имеет площадь $S$. Найдите объем пирамиды.

Для нахождения объема правильной шестиугольной пирамиды воспользуемся формулой $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ – площадь основания, а $h$ – высота пирамиды.

1. Нахождение площади основания
Основанием пирамиды является правильный шестиугольник со стороной $a$. Площадь правильного шестиугольника можно вычислить как сумму площадей шести равносторонних треугольников со стороной $a$. Площадь одного такого треугольника равна $S_{\triangle} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. Следовательно, площадь основания пирамиды:$S_{осн} = 6 \cdot S_{\triangle} = 6 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$.

2. Нахождение высоты пирамиды
В правильном шестиугольнике есть два типа диагоналей: меньшие и большие. Меньшее диагональное сечение проходит через вершину пирамиды и меньшую диагональ основания. Это сечение представляет собой равнобедренный треугольник, основанием которого является меньшая диагональ шестиугольника ($d$), а высотой – высота самой пирамиды ($h$).Длина меньшей диагонали правильного шестиугольника со стороной $a$ равна $d = a\sqrt{3}$. Площадь этого диагонального сечения по условию равна $S$. Таким образом, мы можем записать:$S = \frac{1}{2} \cdot d \cdot h$. Подставим значение $d$:$S = \frac{1}{2} \cdot (a\sqrt{3}) \cdot h$. Выразим из этого уравнения высоту пирамиды $h$:$h = \frac{2S}{a\sqrt{3}}$.

3. Вычисление объема пирамиды
Теперь подставим найденные выражения для площади основания $S_{осн}$ и высоты $h$ в формулу для объема пирамиды:$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{3a^2\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \left(\frac{2S}{a\sqrt{3}}\right)$. Сократим общие множители в числителе и знаменателе:$V = \frac{\cancel{3}a^2\cancel{\sqrt{3}} \cdot \cancel{2}S}{\cancel{3} \cdot \cancel{2} \cdot a\cancel{\sqrt{3}}} = \frac{a^2S}{a} = aS$.

Ответ: $aS$.