Номер 1138, страница 157 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1138. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна $H$, расстояние от ее середины до боковой грани равно $d$. Найдите объем пирамиды.

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида $SABCD$ с вершиной $S$ и основанием $ABCD$. Поскольку пирамида правильная, ее основание — квадрат, а высота $SO$ проецируется в центр основания $O$. По условию, высота пирамиды $SO = H$.

Объем пирамиды вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$. Площадь основания $S_{осн} = a^2$, где $a$ — сторона квадрата $ABCD$. Таким образом, $V = \frac{1}{3} a^2 H$. Наша задача — найти сторону основания $a$ через известные величины $H$ и $d$.

Пусть $M$ — середина высоты $SO$, тогда $SM = MO = \frac{H}{2}$. Расстояние от точки $M$ до боковой грани, например, грани $SBC$, равно $d$.

Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через высоту $SO$ и апофему $SK$ боковой грани $SBC$ (где $K$ — середина ребра $BC$). Это сечение представляет собой прямоугольный треугольник $SOK$, где $\angle SOK = 90^\circ$. Катет $SO = H$, а катет $OK$ равен половине стороны основания, так как $O$ — центр квадрата. То есть, $OK = \frac{a}{2}$. Гипотенуза $SK$ является апофемой боковой грани.

Плоскость $SOK$ перпендикулярна плоскости боковой грани $SBC$, так как ребро $BC$ перпендикулярно двум пересекающимся прямым ($OK$ и $SO$) в плоскости $SOK$. Следовательно, расстояние от точки $M$, лежащей в плоскости $SOK$, до плоскости $SBC$ равно длине перпендикуляра, опущенного из точки $M$ на линию их пересечения — прямую $SK$.

Пусть $MP$ — перпендикуляр из $M$ к $SK$. Тогда по условию $MP = d$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $SMP$ ($\angle SPM = 90^\circ$). В этом треугольнике катет $MP = d$ и гипотенуза $SM = \frac{H}{2}$. Угол $\angle MS P$ совпадает с углом $\angle OSK$ в треугольнике $SOK$. Из треугольника $SMP$ найдем синус этого угла:$\sin(\angle OSK) = \frac{MP}{SM} = \frac{d}{H/2} = \frac{2d}{H}$.

Теперь выразим синус этого же угла через стороны треугольника $SOK$:$OK = \frac{a}{2}$ и $SO = H$. Гипотенуза $SK = \sqrt{SO^2 + OK^2} = \sqrt{H^2 + (\frac{a}{2})^2}$.$\sin(\angle OSK) = \frac{OK}{SK} = \frac{a/2}{\sqrt{H^2 + (a/2)^2}}$.

Приравняем два полученных выражения для $\sin(\angle OSK)$:$\frac{2d}{H} = \frac{a/2}{\sqrt{H^2 + a^2/4}}$.

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:$\frac{4d^2}{H^2} = \frac{(a/2)^2}{H^2 + a^2/4} = \frac{a^2/4}{ (4H^2+a^2)/4 } = \frac{a^2}{4H^2 + a^2}$.

Теперь решим это уравнение относительно $a^2$:$4d^2 (4H^2 + a^2) = H^2 a^2$$16d^2 H^2 + 4d^2 a^2 = H^2 a^2$$16d^2 H^2 = H^2 a^2 - 4d^2 a^2$$16d^2 H^2 = a^2 (H^2 - 4d^2)$

Отсюда находим площадь основания $S_{осн} = a^2$:$a^2 = \frac{16d^2 H^2}{H^2 - 4d^2}$. Заметим, что для существования решения необходимо, чтобы знаменатель был положителен: $H^2 - 4d^2 > 0$, то есть $H > 2d$.

Подставим найденное выражение для площади основания в формулу объема пирамиды:$V = \frac{1}{3} a^2 H = \frac{1}{3} \cdot \frac{16d^2 H^2}{H^2 - 4d^2} \cdot H = \frac{16d^2 H^3}{3(H^2 - 4d^2)}$.

Ответ: $V = \frac{16d^2 H^3}{3(H^2 - 4d^2)}$