Номер 1133, страница 156 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1133. В четырехугольной пирамиде с высотой 105 см двугранные углы при основании равны. Плоскость, параллельная основанию, пересекает пирамиду по ромбу с диагоналями 15 см и 20 см. Найдите боковую поверхность и объем усеченной пирамиды, учитывая, что площадь сечения составляет $ \frac{1}{9} $ площади основания.

Обозначим $S$ и $S'$ площади нижнего и верхнего оснований усеченной пирамиды, а $H$ — высоту исходной полной пирамиды, которая равна $105$ см. Верхнее основание — ромб с диагоналями $d_1' = 15$ см и $d_2' = 20$ см. По условию, площадь сечения $S'$ составляет $\frac{1}{9}$ площади основания $S$, то есть $\frac{S'}{S} = \frac{1}{9}$.

Так как секущая плоскость параллельна основанию, она отсекает пирамиду, подобную исходной. Коэффициент подобия $k$ связан с отношением площадей как $k^2 = \frac{S'}{S}$. Отсюда находим коэффициент подобия:

$k = \sqrt{\frac{S'}{S}} = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}$.

Для дальнейших расчетов найдем основные параметры оснований и высоты усеченной пирамиды.

Площадь верхнего основания (ромба): $S' = \frac{1}{2}d_1'd_2' = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 20 = 150$ $см^2$.

Площадь нижнего основания: $S = \frac{S'}{k^2} = \frac{150}{1/9} = 1350$ $см^2$.

Высота малой (отсеченной) пирамиды $H' = k \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 105 = 35$ см.

Высота усеченной пирамиды $h_{ус} = H - H' = 105 - 35 = 70$ см.

Условие равенства двугранных углов при основании означает, что вершина пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в основание. Формула для боковой поверхности такой усеченной пирамиды: $S_{бок} = \frac{1}{2}(P + P')l$, где $P$ и $P'$ — периметры оснований, а $l$ — апофема (высота боковой грани).

Найдем периметры оснований. Сначала найдем сторону верхнего основания $a'$ по теореме Пифагора:

$a' = \sqrt{(\frac{d_1'}{2})^2 + (\frac{d_2'}{2})^2} = \sqrt{7.5^2 + 10^2} = \sqrt{56.25 + 100} = \sqrt{156.25} = 12.5$ см.

Периметр верхнего основания: $P' = 4a' = 4 \cdot 12.5 = 50$ см.

Периметр нижнего основания, как подобной фигуры: $P = \frac{P'}{k} = \frac{50}{1/3} = 150$ см.

Для нахождения апофемы $l$ нам понадобятся радиусы $r$ и $r'$ окружностей, вписанных в основания. Апофема $l$ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике с катетами $h_{ус}$ и $(r-r')$.

Радиус вписанной в ромб окружности равен половине его высоты. Высоту ромба можно найти по формуле $h_{ромба} = S/a$.

Для верхнего основания: высота $h' = \frac{S'}{a'} = \frac{150}{12.5} = 12$ см, тогда радиус $r' = \frac{h'}{2} = 6$ см.

Для нижнего основания: радиус $r = \frac{r'}{k} = \frac{6}{1/3} = 18$ см.

Теперь можем найти апофему усеченной пирамиды:

$l = \sqrt{h_{ус}^2 + (r-r')^2} = \sqrt{70^2 + (18-6)^2} = \sqrt{70^2 + 12^2} = \sqrt{4900 + 144} = \sqrt{5044}$.

Упростим корень: $\sqrt{5044} = \sqrt{4 \cdot 1261} = 2\sqrt{1261}$ см.

Наконец, вычисляем боковую поверхность:

$S_{бок} = \frac{1}{2}(P + P')l = \frac{1}{2}(150 + 50) \cdot 2\sqrt{1261} = \frac{1}{2} \cdot 200 \cdot 2\sqrt{1261} = 200\sqrt{1261}$ $см^2$.

Ответ: $200\sqrt{1261}$ $см^2$.

Объем усеченной пирамиды вычисляется по формуле $V_{ус} = \frac{1}{3}h_{ус}(S + \sqrt{S \cdot S'} + S')$. Подставим найденные значения:

$V_{ус} = \frac{1}{3} \cdot 70 \cdot (1350 + \sqrt{1350 \cdot 150} + 150)$.

Вычислим значение подкоренного выражения: $\sqrt{1350 \cdot 150} = \sqrt{9 \cdot 150 \cdot 150} = 3 \cdot 150 = 450$.

Теперь найдем объем:

$V_{ус} = \frac{70}{3} \cdot (1350 + 450 + 150) = \frac{70}{3} \cdot 1950 = 70 \cdot 650 = 45500$ $см^3$.

Ответ: $45500$ $см^3$.