Номер 1140, страница 157 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1140. В правильной четырехугольной пирамиде расстояние от вершины основания до противоположного бокового ребра в $k$ раз больше, чем до соседнего. Найдите объем пирамиды, учитывая, что высота равна $H$.

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида $SABCD$, где $ABCD$ — квадрат в основании, $S$ — вершина пирамиды, $SO$ — высота, равная $H$. Пусть сторона основания $AB = a$.

Рассмотрим вершину основания $A$. Соседними боковыми ребрами для нее являются $SB$ и $SD$, а противоположным — $SC$. Из-за симметрии правильной пирамиды расстояния от вершины $A$ до соседних ребер $SB$ и $SD$ равны. Обозначим расстояние от вершины $A$ до ребра $SB$ как $d_1$, а расстояние от вершины $A$ до ребра $SC$ как $d_2$. По условию задачи, $d_2 = k \cdot d_1$.

Для нахождения этих расстояний найдем длину бокового ребра $L$. Диагональ основания $AC = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$. Отрезок $OC$ — это половина диагонали, $OC = \frac{a\sqrt{2}}{2}$. Из прямоугольного треугольника $SOC$ по теореме Пифагора найдем квадрат длины бокового ребра:

$L^2 = SC^2 = SO^2 + OC^2 = H^2 + \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = H^2 + \frac{2a^2}{4} = H^2 + \frac{a^2}{2}$.

1. Найдем расстояние $d_1$ от вершины $A$ до ребра $SB$. Это высота треугольника $ASB$, опущенная из вершины $A$ на сторону $SB$. Площадь треугольника $ASB$ можно вычислить двумя способами.

С одной стороны, $S_{ASB} = \frac{1}{2} SB \cdot d_1 = \frac{1}{2} L \cdot d_1$.

С другой стороны, проведем апофему $SM$ к стороне $AB$. В прямоугольном треугольнике $SOM$ (где $OM = a/2$) имеем $SM = \sqrt{SO^2 + OM^2} = \sqrt{H^2 + (a/2)^2} = \sqrt{H^2 + \frac{a^2}{4}}$. Тогда площадь $S_{ASB} = \frac{1}{2} AB \cdot SM = \frac{1}{2} a \sqrt{H^2 + \frac{a^2}{4}}$.

Приравнивая два выражения для площади, получаем:$\frac{1}{2} L \cdot d_1 = \frac{1}{2} a \sqrt{H^2 + \frac{a^2}{4}} \implies d_1 = \frac{a}{L}\sqrt{H^2 + \frac{a^2}{4}}$.

2. Найдем расстояние $d_2$ от вершины $A$ до ребра $SC$. Это высота треугольника $ASC$, опущенная из вершины $A$ на сторону $SC$. Площадь треугольника $ASC$ также можно вычислить двумя способами.

С одной стороны, $S_{ASC} = \frac{1}{2} SC \cdot d_2 = \frac{1}{2} L \cdot d_2$.

С другой стороны, основание этого треугольника $AC = a\sqrt{2}$, а высота, опущенная на него — это высота пирамиды $SO = H$. Тогда площадь $S_{ASC} = \frac{1}{2} AC \cdot SO = \frac{1}{2} a\sqrt{2} \cdot H$.

Приравнивая два выражения для площади, получаем:$\frac{1}{2} L \cdot d_2 = \frac{1}{2} a\sqrt{2}H \implies d_2 = \frac{a\sqrt{2}H}{L}$.

3. Используем условие $d_2 = k \cdot d_1$ для нахождения стороны основания $a$.

$\frac{a\sqrt{2}H}{L} = k \cdot \frac{a}{L}\sqrt{H^2 + \frac{a^2}{4}}$.

Сокращаем на $\frac{a}{L}$ (так как $a \neq 0$ и $L \neq 0$):$\sqrt{2}H = k \sqrt{H^2 + \frac{a^2}{4}}$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:$2H^2 = k^2 \left(H^2 + \frac{a^2}{4}\right)$$2H^2 = k^2H^2 + \frac{k^2a^2}{4}$$2H^2 - k^2H^2 = \frac{k^2a^2}{4}$$H^2(2 - k^2) = \frac{k^2a^2}{4}$.

Отсюда выразим $a^2$, которое является площадью основания пирамиды ($S_{осн} = a^2$):$a^2 = \frac{4H^2(2 - k^2)}{k^2}$.

Заметим, что для существования такой пирамиды необходимо, чтобы $a^2 > 0$, что влечет за собой условие $2 - k^2 > 0$, то есть $k < \sqrt{2}$.

4. Найдем объем пирамиды $V$.

Объем пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$. Подставим найденное выражение для площади основания $S_{осн} = a^2$:$V = \frac{1}{3} \cdot \frac{4H^2(2 - k^2)}{k^2} \cdot H = \frac{4H^3(2 - k^2)}{3k^2}$.

Ответ: $V = \frac{4H^3(2 - k^2)}{3k^2}$.