Номер 1147, страница 158 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1147. В коническую емкость, ось которой вертикальна, налита вода, уровень которой находится на расстоянии 8 см от вершины конуса. Образующая водного конуса равна 10 см. Когда в емкость опустили шар, то уровень воды поднялся на 1 см. Найдите радиус шара.

Для решения задачи выполним следующие шаги:

1. Нахождение параметров начального конуса воды.

Пусть $h_1$ — начальная высота воды, $r_1$ — начальный радиус поверхности воды, а $l_1$ — образующая водного конуса. По условию, $h_1 = 8$ см и $l_1 = 10$ см. Высота, радиус и образующая прямого конуса связаны теоремой Пифагора, так как они образуют прямоугольный треугольник. Найдем радиус $r_1$:

$r_1^2 = l_1^2 - h_1^2$

$r_1 = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6$ см.

2. Вычисление начального объема воды.

Объем конуса вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$. Начальный объем воды $V_1$ равен:

$V_1 = \frac{1}{3}\pi r_1^2 h_1 = \frac{1}{3}\pi \cdot 6^2 \cdot 8 = \frac{1}{3}\pi \cdot 36 \cdot 8 = 96\pi$ см³.

3. Нахождение параметров конуса после погружения шара.

После погружения шара уровень воды поднялся на 1 см, следовательно, новая высота воды $h_2$ составляет:

$h_2 = h_1 + 1 = 8 + 1 = 9$ см.

Так как коническая емкость заполнена водой, форма воды также является конусом, подобным самой емкости. Это означает, что отношение радиуса поверхности воды к ее высоте является постоянной величиной. Найдем это отношение из начальных данных:

$\frac{r_1}{h_1} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

Теперь мы можем найти новый радиус поверхности воды $r_2$ при новой высоте $h_2 = 9$ см:

$\frac{r_2}{h_2} = \frac{3}{4} \implies r_2 = \frac{3}{4} \cdot h_2 = \frac{3}{4} \cdot 9 = \frac{27}{4}$ см.

4. Вычисление конечного объема.

Конечный объем $V_2$ в емкости (вода плюс погруженный шар) равен объему конуса с высотой $h_2$ и радиусом $r_2$:

$V_2 = \frac{1}{3}\pi r_2^2 h_2 = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{27}{4}\right)^2 \cdot 9 = \frac{1}{3}\pi \cdot \frac{729}{16} \cdot 9 = \frac{2187\pi}{16}$ см³.

5. Нахождение объема шара.

Объем погруженного шара $V_{шара}$ равен объему вытесненной им жидкости. Этот объем можно найти как разность между конечным объемом $V_2$ и начальным объемом воды $V_1$:

$V_{шара} = V_2 - V_1 = \frac{2187\pi}{16} - 96\pi$

Приводя к общему знаменателю:

$V_{шара} = \frac{2187\pi}{16} - \frac{96 \cdot 16 \pi}{16} = \frac{2187\pi - 1536\pi}{16} = \frac{651\pi}{16}$ см³.

6. Нахождение радиуса шара.

Объем шара связан с его радиусом $R$ формулой $V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R^3$. Приравняем найденный объем шара к этой формуле, чтобы найти $R$:

$\frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{651\pi}{16}$

Разделим обе части на $\pi$ и выразим $R^3$:

$R^3 = \frac{651}{16} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1953}{64}$

Теперь извлечем кубический корень, чтобы найти радиус шара:

$R = \sqrt[3]{\frac{1953}{64}} = \frac{\sqrt[3]{1953}}{\sqrt[3]{64}} = \frac{\sqrt[3]{1953}}{4}$ см.

Ответ: $ \frac{\sqrt[3]{1953}}{4} $ см.