Номер 1149, страница 158 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1149. Поверхность шара равна $400\pi \text{ см}^2$, а образующая конуса, вписанного в этот шар, равна $2\sqrt{10} \text{ см}$ (рис. 348). Найдите объем конуса.

Рис. 348

Для решения задачи нам нужно найти объем конуса, который вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$, где $r$ – радиус основания конуса, а $h$ – его высота. Для этого нам необходимо найти $r$ и $h$, используя данные о шаре и образующей конуса.

1. Нахождение радиуса шара (R)

Площадь поверхности шара дается формулой $S = 4\pi R^2$. По условию, $S = 400\pi$ см². Приравняем эти значения, чтобы найти радиус шара $R$:

$4\pi R^2 = 400\pi$

$R^2 = \frac{400\pi}{4\pi}$

$R^2 = 100$

$R = 10$ см.

2. Установление связи между размерами конуса и радиусом шара

Рассмотрим осевое сечение шара и вписанного в него конуса. Сечением будет равнобедренный треугольник (осевое сечение конуса), вписанный в окружность (сечение шара). Обозначим высоту конуса как $h$, радиус его основания как $r$ и образующую как $L$.

Из прямоугольного треугольника, образованного высотой $h$, радиусом основания $r$ и образующей $L$, по теореме Пифагора имеем:

$L^2 = h^2 + r^2$

Рассмотрим другой прямоугольный треугольник, образованный радиусом шара $R$ (как гипотенуза), радиусом основания конуса $r$ и отрезком, соединяющим центр шара с центром основания конуса. Длина этого отрезка равна $|R-h|$. Тогда по теореме Пифагора:

$R^2 = r^2 + (R-h)^2$

Раскроем скобки:

$R^2 = r^2 + R^2 - 2Rh + h^2$

$0 = r^2 + h^2 - 2Rh$

Отсюда получаем важное соотношение: $r^2 + h^2 = 2Rh$.

3. Вычисление высоты и радиуса основания конуса

Мы получили два выражения для $r^2 + h^2$:

$L^2 = r^2 + h^2$

$2Rh = r^2 + h^2$

Следовательно, $L^2 = 2Rh$.

Подставим известные значения: $L = 2\sqrt{10}$ см и $R = 10$ см.

$(2\sqrt{10})^2 = 2 \cdot 10 \cdot h$

$4 \cdot 10 = 20h$

$40 = 20h$

$h = 2$ см.

Теперь, зная высоту $h$, найдем квадрат радиуса основания $r^2$ из соотношения $L^2 = h^2 + r^2$:

$40 = 2^2 + r^2$

$40 = 4 + r^2$

$r^2 = 36$

4. Вычисление объема конуса

Теперь у нас есть все необходимые данные для вычисления объема конуса: $h=2$ см и $r^2=36$ см².

$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi \cdot 36 \cdot 2$

$V = 12\pi \cdot 2$

$V = 24\pi$ см³.

Ответ: $24\pi$ см³.