Номер 1150, страница 158 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1150. Боковые ребра пирамиды, основанием которой служит прямоугольник, равны между собой. Высота пирамиды равна 14,4 м. Большая сторона основания равна 21,6 м, радиус сферы, описанной около этой пирамиды, равен 12,5 м. Найдите поверхность пирамиды.

Поскольку боковые ребра пирамиды равны, ее вершина проецируется в центр окружности, описанной около основания. Для прямоугольника таким центром является точка пересечения диагоналей. Пусть $S$ — вершина пирамиды, $ABCD$ — прямоугольное основание, а $O$ — точка пересечения его диагоналей. Тогда высота пирамиды $H = SO = 14,4$ м.

Центр описанной сферы $O_{сф}$ лежит на высоте пирамиды. Расстояние от центра сферы до любой вершины пирамиды равно радиусу сферы $R = 12,5$ м. Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через диагональ основания $AC$ и вершину $S$. В этом сечении лежит равнобедренный треугольник $ASC$ и центр сферы $O_{сф}$ на его высоте $SO$.

Расстояние от центра сферы до вершины $S$ равно $R$, и расстояние до вершины основания $A$ также равно $R$. Пусть $x$ — расстояние от центра сферы до основания ($OO_{сф}$). Так как высота пирамиды $H = 14,4$ м больше радиуса сферы $R = 12,5$ м, центр сферы находится между вершиной и основанием. Тогда расстояние от центра сферы до вершины $S$ равно $H - x$.

$R = H - x \implies 12,5 = 14,4 - x \implies x = 14,4 - 12,5 = 1,9$ м.

Теперь найдем радиус окружности, описанной около основания, $r_{осн} = OA$. Из прямоугольного треугольника $\triangle OO_{сф}A$ по теореме Пифагора: $R^2 = (OA)^2 + (OO_{сф})^2 = r_{осн}^2 + x^2$.

$r_{осн}^2 = R^2 - x^2 = 12,5^2 - 1,9^2 = 156,25 - 3,61 = 152,64$ м$^2$.

Диагональ основания $d$ равна $2r_{осн}$, следовательно, $d^2 = 4r_{осн}^2 = 4 \cdot 152,64 = 610,56$ м$^2$.

С другой стороны, для прямоугольника со сторонами $a$ и $b$ верно соотношение $d^2 = a^2 + b^2$. По условию, большая сторона $a = 21,6$ м.

$610,56 = 21,6^2 + b^2 \implies 610,56 = 466,56 + b^2$.

Отсюда находим квадрат меньшей стороны: $b^2 = 610,56 - 466,56 = 144$ м$^2$.

Меньшая сторона основания $b = \sqrt{144} = 12$ м.

Полная поверхность пирамиды $S_{полн}$ складывается из площади основания $S_{осн}$ и площади боковой поверхности $S_{бок}$.

Площадь основания: $S_{осн} = a \cdot b = 21,6 \cdot 12 = 259,2$ м$^2$.

Боковая поверхность состоит из двух пар равных треугольников. Для нахождения их площади необходимы апофемы (высоты боковых граней).

Апофема $h_a$, проведенная к стороне $a$, вычисляется из прямоугольного треугольника с катетами $H$ и $b/2$:
$h_a = \sqrt{H^2 + (\frac{b}{2})^2} = \sqrt{14,4^2 + (\frac{12}{2})^2} = \sqrt{207,36 + 36} = \sqrt{243,36} = 15,6$ м.

Апофема $h_b$, проведенная к стороне $b$, вычисляется из прямоугольного треугольника с катетами $H$ и $a/2$:
$h_b = \sqrt{H^2 + (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{14,4^2 + (\frac{21,6}{2})^2} = \sqrt{207,36 + 10,8^2} = \sqrt{207,36 + 116,64} = \sqrt{324} = 18$ м.

Площадь боковой поверхности:
$S_{бок} = 2 \cdot (\frac{1}{2} a h_a) + 2 \cdot (\frac{1}{2} b h_b) = a h_a + b h_b$.
$S_{бок} = 21,6 \cdot 15,6 + 12 \cdot 18 = 336,96 + 216 = 552,96$ м$^2$.

Полная поверхность пирамиды:
$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 259,2 + 552,96 = 812,16$ м$^2$.

Ответ: $812,16 \text{ м}^2$.