Номер 1153, страница 159 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1153. Около шара описана прямая призма, в основании которой лежит равнобедренная трапеция (рис. 349). Параллельные стороны трапеции равны 8 см и 50 см. Найдите полную поверхность и объем призмы.

50 см

Рис. 349

Для решения задачи сначала найдем параметры основания призмы (равнобедренной трапеции), а затем, используя их, вычислим полную поверхность и объем самой призмы.

Поскольку в прямую призму вписан шар, то ее высота $H$ равна диаметру шара. Проекция этого шара на основание призмы является окружностью, вписанной в трапецию. Диаметр этой окружности равен высоте трапеции $h$. Следовательно, высота призмы равна высоте трапеции: $H = h$.

1. Нахождение параметров трапеции в основании.

Пусть основания трапеции $a = 8$ см и $b = 50$ см, а боковые стороны равны $c$.

Так как в трапецию вписана окружность, суммы ее противоположных сторон равны:

$a + b = c + c$

$8 + 50 = 2c$

$58 = 2c$

$c = 29$ см.

Теперь найдем высоту трапеции $h$. Для этого проведем высоту из вершины меньшего основания к большему. Получим прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является боковая сторона $c=29$ см, а одним из катетов — отрезок, равный полуразности оснований:

$\frac{b-a}{2} = \frac{50-8}{2} = \frac{42}{2} = 21$ см.

По теореме Пифагора найдем второй катет, который и является высотой трапеции $h$:

$h^2 = c^2 - (\frac{b-a}{2})^2$

$h^2 = 29^2 - 21^2 = 841 - 441 = 400$

$h = \sqrt{400} = 20$ см.

Высота призмы $H$ равна высоте трапеции, значит $H = 20$ см.

2. Нахождение полной поверхности и объема призмы.

Полная поверхность призмы

Полная поверхность призмы вычисляется по формуле $S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн}$, где $S_{бок}$ — площадь боковой поверхности, а $S_{осн}$ — площадь основания.

Площадь основания (трапеции):

$S_{осн} = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{8+50}{2} \cdot 20 = 29 \cdot 20 = 580$ см$^2$.

Площадь боковой поверхности — это произведение периметра основания $P_{осн}$ на высоту призмы $H$.

Периметр основания: $P_{осн} = a + b + 2c = 8 + 50 + 2 \cdot 29 = 58 + 58 = 116$ см.

Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = P_{осн} \cdot H = 116 \cdot 20 = 2320$ см$^2$.

Полная поверхность призмы:

$S_{полн} = 2320 + 2 \cdot 580 = 2320 + 1160 = 3480$ см$^2$.

Ответ: $3480$ см$^2$.

Объем призмы

Объем призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$.

Используя ранее найденные значения, получаем:

$V = 580 \cdot 20 = 11600$ см$^3$.

Ответ: $11600$ см$^3$.