Номер 1158, страница 159 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1158. В основании пирамиды лежит равнобедренная трапеция с острым углом $\alpha$, боковые грани наклонены к плоскости основания под углом $\beta$. Найдите площадь полной поверхности пирамиды, учитывая, что площадь вписанной в нее сферы равна $S$.

Пусть $r$ - радиус вписанной в пирамиду сферы. Площадь поверхности этой сферы $S$ вычисляется по формуле $S = 4\pi r^2$. Отсюда мы можем выразить квадрат радиуса сферы:$r^2 = \frac{S}{4\pi}$.

По условию, все боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом $\beta$. Это свойство означает, что вершина пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в многоугольник основания. Следовательно, в основание пирамиды (равнобедренную трапецию) можно вписать окружность.

Рассмотрим осевое сечение пирамиды, проходящее через ее высоту $H$ и радиус $r_{осн}$ вписанной в основание окружности, перпендикулярное стороне основания. В этом сечении мы получим равнобедренный треугольник, в который вписан большой круг сферы (окружность радиуса $r$). Высота этого треугольника - это высота пирамиды $H$, а половина основания - радиус вписанной в основание окружности $r_{осн}$. Углы при основании этого треугольника равны $\beta$.

Центр вписанной сферы лежит на высоте пирамиды на расстоянии $r$ от основания. Из прямоугольного треугольника, образованного высотой $H$, радиусом $r_{осн}$ и апофемой, видно, что центр вписанной окружности (сферы) является точкой пересечения биссектрис. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом $r_{осн}$, радиусом сферы $r$ и частью биссектрисы угла $\beta$. В этом треугольнике катеты равны $r_{осн}$ и $r$, а угол, противолежащий катету $r$, равен $\frac{\beta}{2}$. Отсюда получаем соотношение:$\tan(\frac{\beta}{2}) = \frac{r}{r_{осн}}$,что позволяет выразить радиус вписанной в основание окружности:$r_{осн} = \frac{r}{\tan(\frac{\beta}{2})} = r \cot(\frac{\beta}{2})$.

Теперь найдем площадь основания $S_{осн}$. Основанием является равнобедренная трапеция с острым углом $\alpha$, в которую вписана окружность. Высота такой трапеции $h$ равна диаметру вписанной окружности, то есть $h = 2r_{осн}$. Площадь описанной трапеции можно найти по формуле $S_{осн} = \frac{h^2}{\sin\alpha}$. Подставим $h = 2r_{осн}$:$S_{осн} = \frac{(2r_{осн})^2}{\sin\alpha} = \frac{4r_{осн}^2}{\sin\alpha}$.

Подставим в эту формулу выражение для $r_{осн}$ через $r$, а затем выражение для $r^2$ через $S$:$S_{осн} = \frac{4(r \cot(\frac{\beta}{2}))^2}{\sin\alpha} = \frac{4r^2 \cot^2(\frac{\beta}{2})}{\sin\alpha} = \frac{4(\frac{S}{4\pi}) \cot^2(\frac{\beta}{2})}{\sin\alpha} = \frac{S \cot^2(\frac{\beta}{2})}{\pi\sin\alpha}$.

Площадь полной поверхности пирамиды $S_{полн}$ равна сумме площади основания $S_{осн}$ и площади боковой поверхности $S_{бок}$. Для пирамиды, у которой все боковые грани наклонены под углом $\beta$ к основанию, площадь боковой поверхности связана с площадью основания формулой:$S_{бок} = \frac{S_{осн}}{\cos\beta}$. Тогда площадь полной поверхности:$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = S_{осн} + \frac{S_{осн}}{\cos\beta} = S_{осн} \left(1 + \frac{1}{\cos\beta}\right) = S_{осн} \frac{1+\cos\beta}{\cos\beta}$.

Осталось подставить найденное выражение для $S_{осн}$:$S_{полн} = \frac{S \cot^2(\frac{\beta}{2})}{\pi\sin\alpha} \cdot \frac{1+\cos\beta}{\cos\beta}$.

Для упрощения ответа используем тригонометрическую формулу из двойного угла: $\cot^2(\frac{\beta}{2}) = \frac{1+\cos\beta}{1-\cos\beta}$.$S_{полн} = \frac{S}{\pi\sin\alpha} \cdot \frac{1+\cos\beta}{1-\cos\beta} \cdot \frac{1+\cos\beta}{\cos\beta} = \frac{S(1+\cos\beta)^2}{\pi\sin\alpha \cos\beta (1-\cos\beta)}$.

Ответ: $\frac{S(1+\cos\beta)^2}{\pi \sin\alpha \cos\beta(1-\cos\beta)}$