Номер 1161, страница 160 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1161. Плоскость разделяет поверхность шара в отношении 1 : 2. В каком отношении она разделяет объем шара?

Пусть $R$ — радиус шара. Площадь поверхности шара вычисляется по формуле $S = 4\pi R^2$.

Плоскость делит поверхность шара на две части (два сферических сегмента), площади которых $S_1$ и $S_2$ находятся в отношении $1:2$. Таким образом, мы можем найти площади этих частей:

$S_1 = \frac{1}{1+2} S = \frac{1}{3} S = \frac{4\pi R^2}{3}$

$S_2 = \frac{2}{1+2} S = \frac{2}{3} S = \frac{8\pi R^2}{3}$

Площадь поверхности сферического сегмента (шапочки) вычисляется по формуле $S_{сегм} = 2\pi R h$, где $h$ — высота сегмента.

Найдем высоты $h_1$ и $h_2$ для каждого из двух сегментов:

Для первого сегмента: $S_1 = 2\pi R h_1 \Rightarrow \frac{4\pi R^2}{3} = 2\pi R h_1 \Rightarrow h_1 = \frac{2R}{3}$.

Для второго сегмента: $S_2 = 2\pi R h_2 \Rightarrow \frac{8\pi R^2}{3} = 2\pi R h_2 \Rightarrow h_2 = \frac{4R}{3}$.

Проверим, что сумма высот равна диаметру шара: $h_1 + h_2 = \frac{2R}{3} + \frac{4R}{3} = \frac{6R}{3} = 2R$. Это верно.

Теперь найдем объемы шаровых сегментов. Объем шарового сегмента вычисляется по формуле: $V = \pi h^2 (R - \frac{h}{3})$.

Вычислим объем первого (меньшего) сегмента $V_1$:

$V_1 = \pi h_1^2 (R - \frac{h_1}{3}) = \pi (\frac{2R}{3})^2 (R - \frac{2R/3}{3}) = \pi \frac{4R^2}{9} (R - \frac{2R}{9}) = \pi \frac{4R^2}{9} (\frac{7R}{9}) = \frac{28\pi R^3}{81}$.

Вычислим объем второго (большего) сегмента $V_2$. Можно найти его как разность общего объема шара и $V_1$, либо по той же формуле:

$V_2 = \pi h_2^2 (R - \frac{h_2}{3}) = \pi (\frac{4R}{3})^2 (R - \frac{4R/3}{3}) = \pi \frac{16R^2}{9} (R - \frac{4R}{9}) = \pi \frac{16R^2}{9} (\frac{5R}{9}) = \frac{80\pi R^3}{81}$.

Теперь найдем отношение объемов $V_1$ к $V_2$:

$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{28\pi R^3}{81}}{\frac{80\pi R^3}{81}} = \frac{28}{80}$.

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 4:

$\frac{28}{80} = \frac{28 \div 4}{80 \div 4} = \frac{7}{20}$.

Следовательно, объемы шаровых сегментов относятся как $7:20$.

Ответ: 7 : 20.