Номер 1163, страница 160 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1163. Два равных шара с радиусом $R$ при пересечении образуют тело, которое в оптике называют линзой. Найдите площадь ее поверхности и объем, учитывая, что расстояние между центрами шаров равно $R$.

Тело, образованное пересечением двух равных шаров (линза), представляет собой объединение двух одинаковых шаровых сегментов, которые приложены друг к другу своими основаниями.

По условию, радиус каждого шара равен $R$, а расстояние между их центрами также равно $R$.

Плоскость, в которой лежит окружность пересечения сфер, перпендикулярна линии, соединяющей центры шаров, и делит расстояние между центрами пополам. Следовательно, расстояние от центра каждого шара до этой плоскости равно $\frac{R}{2}$.

Высота $h$ каждого из двух шаровых сегментов, образующих линзу, равна разности между радиусом шара $R$ и расстоянием от центра до плоскости основания сегмента: $h = R - \frac{R}{2} = \frac{R}{2}$.

Площадь поверхности

Площадь поверхности линзы — это сумма площадей сферических поверхностей двух шаровых сегментов. Площадь поверхности одного шарового сегмента вычисляется по формуле: $S_{сегм} = 2 \pi R h$ где $R$ — радиус шара, а $h$ — высота сегмента.

Подставим в формулу высоту сегмента $h = \frac{R}{2}$: $S_{сегм} = 2 \pi R \cdot \frac{R}{2} = \pi R^2$.

Так как линза состоит из двух одинаковых сегментов, общая площадь ее поверхности $S$ равна удвоенной площади одного сегмента: $S = 2 \cdot S_{сегм} = 2 \cdot \pi R^2 = 2 \pi R^2$.

Ответ: $S = 2 \pi R^2$.

Объем

Объем линзы равен сумме объемов двух шаровых сегментов. Объем одного шарового сегмента вычисляется по формуле: $V_{сегм} = \pi h^2 \left(R - \frac{h}{3}\right)$ где $R$ — радиус шара, а $h$ — высота сегмента.

Подставим в формулу высоту сегмента $h = \frac{R}{2}$: $V_{сегм} = \pi \left(\frac{R}{2}\right)^2 \left(R - \frac{R/2}{3}\right) = \pi \frac{R^2}{4} \left(R - \frac{R}{6}\right)$.

Вычислим выражение в скобках: $R - \frac{R}{6} = \frac{6R - R}{6} = \frac{5R}{6}$.

Теперь можем найти объем одного сегмента: $V_{сегм} = \pi \frac{R^2}{4} \cdot \frac{5R}{6} = \frac{5 \pi R^3}{24}$.

Общий объем линзы $V$ равен удвоенному объему одного сегмента: $V = 2 \cdot V_{сегм} = 2 \cdot \frac{5 \pi R^3}{24} = \frac{10 \pi R^3}{24} = \frac{5 \pi R^3}{12}$.

Ответ: $V = \frac{5 \pi R^3}{12}$.