Номер 1165, страница 160 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1165. Шаровой слой и цилиндр имеют общие основания; объём слоя вдвое больше объёма цилиндра. Найдите величину дуги в осевом сечении слоя.

Решение:

Пусть $R$ — радиус шара, из которого вырезан шаровой слой, $r$ — радиус оснований слоя и цилиндра, а $h$ — их общая высота.

Объем цилиндра определяется формулой:
$V_{цил} = \pi r^2 h$

Объем шарового слоя, основания которого имеют радиусы $r_1$ и $r_2$, а высота равна $h$, вычисляется по формуле:
$V_{слоя} = \frac{1}{6} \pi h (h^2 + 3r_1^2 + 3r_2^2)$

Так как у шарового слоя и цилиндра общие основания, то их радиусы равны: $r_1 = r_2 = r$. Формула для объема слоя упрощается:
$V_{слоя} = \frac{1}{6} \pi h (h^2 + 6r^2) = \pi h (\frac{h^2}{6} + r^2)$

Согласно условию задачи, объем слоя вдвое больше объема цилиндра:
$V_{слоя} = 2 \cdot V_{цил}$

Подставим выражения для объемов:
$\pi h (\frac{h^2}{6} + r^2) = 2(\pi r^2 h)$

Поскольку высота $h$ не равна нулю, мы можем разделить обе части уравнения на $\pi h$:
$\frac{h^2}{6} + r^2 = 2r^2$

Из этого уравнения находим зависимость между $r$ и $h$:
$r^2 = \frac{h^2}{6}$

Рассмотрим осевое сечение шара. Оно представляет собой круг радиуса $R$. Так как основания слоя — это два равных круга, то в осевом сечении они изображаются двумя равными и параллельными хордами. Это означает, что основания слоя расположены симметрично относительно центра шара. Расстояние от центра шара до плоскости каждого основания равно $d = \frac{h}{2}$.

Радиус шара $R$, радиус основания $r$ и расстояние $d$ связаны соотношением из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного этими тремя отрезками:
$R^2 = r^2 + d^2 = r^2 + (\frac{h}{2})^2 = r^2 + \frac{h^2}{4}$

Подставим в это равенство найденное ранее выражение для $r^2$:
$R^2 = \frac{h^2}{6} + \frac{h^2}{4} = \frac{2h^2 + 3h^2}{12} = \frac{5h^2}{12}$

Величина дуги в осевом сечении слоя — это центральный угол $\alpha$, опирающийся на дугу, которая при вращении вокруг оси симметрии образует боковую (сферическую) поверхность шарового слоя. Для нахождения этого угла воспользуемся координатным методом.

Поместим центр шара в начало координат $O(0,0)$, а ось симметрии слоя — на ось $Oy$. Концы дуги в осевом сечении (в правой полуплоскости) будут иметь координаты $P(r, d)$ и $Q(r, -d)$. Искомый угол $\alpha$ — это угол между векторами $\vec{OP}=(r, d)$ и $\vec{OQ}=(r, -d)$.

Косинус угла между векторами можно найти через их скалярное произведение:
$\cos\alpha = \frac{\vec{OP} \cdot \vec{OQ}}{|\vec{OP}| \cdot |\vec{OQ}|}$

Вычислим компоненты этой формулы:
$\vec{OP} \cdot \vec{OQ} = r \cdot r + d \cdot (-d) = r^2 - d^2$
$|\vec{OP}| = \sqrt{r^2 + d^2} = R$
$|\vec{OQ}| = \sqrt{r^2 + (-d)^2} = R$

Тогда:
$\cos\alpha = \frac{r^2 - d^2}{R^2}$

Подставим выражения для $r^2$, $d^2 = \frac{h^2}{4}$ и $R^2$ через $h^2$:
$\cos\alpha = \frac{\frac{h^2}{6} - \frac{h^2}{4}}{\frac{5h^2}{12}} = \frac{\frac{2h^2 - 3h^2}{12}}{\frac{5h^2}{12}} = \frac{-\frac{h^2}{12}}{\frac{5h^2}{12}} = -\frac{1}{5}$

Следовательно, величина дуги в осевом сечении слоя равна $\arccos(-\frac{1}{5})$.

Ответ: $\arccos(-\frac{1}{5})$.