Номер 1169, страница 160 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1169. На оси $Oy$ найдите точку $P$, равноудаленную от точек $C(1; -1; 2)$ и $D(8; 1; 0)$.

Пусть искомая точка $P$ имеет координаты $(x_P; y_P; z_P)$. Поскольку точка $P$ лежит на оси $Oy$, ее координаты по осям $Ox$ и $Oz$ равны нулю. Таким образом, координаты точки $P$ можно записать в виде $P(0; y; 0)$.

По условию задачи, точка $P$ равноудалена от точек $C(1; -1; 2)$ и $D(8; 1; 0)$. Это означает, что расстояние $PC$ равно расстоянию $PD$, то есть $PC = PD$. Чтобы избежать работы с квадратными корнями, удобнее приравнять квадраты этих расстояний: $PC^2 = PD^2$.

Квадрат расстояния между двумя точками $A(x_1; y_1; z_1)$ и $B(x_2; y_2; z_2)$ вычисляется по формуле: $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2$.

Найдем квадрат расстояния $PC^2$ между точками $P(0; y; 0)$ и $C(1; -1; 2)$: $PC^2 = (1 - 0)^2 + (-1 - y)^2 + (2 - 0)^2 = 1^2 + (-(1+y))^2 + 2^2 = 1 + (1+2y+y^2) + 4 = y^2 + 2y + 5$.

Найдем квадрат расстояния $PD^2$ между точками $P(0; y; 0)$ и $D(8; 1; 0)$: $PD^2 = (8 - 0)^2 + (1 - y)^2 + (0 - 0)^2 = 8^2 + (1-y)^2 + 0^2 = 64 + (1-2y+y^2) = y^2 - 2y + 65$.

Теперь приравняем полученные выражения для $PC^2$ и $PD^2$ и решим уравнение относительно $y$: $y^2 + 2y + 5 = y^2 - 2y + 65$ $y^2 + 2y - y^2 + 2y = 65 - 5$ $4y = 60$ $y = \frac{60}{4}$ $y = 15$.

Следовательно, искомая точка $P$ имеет координаты $(0; 15; 0)$.

Ответ: $P(0; 15; 0)$.