Номер 1173, страница 161 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1173. Даны точки $A(2; -3; 2)$, $B(-4; 4; 4)$, $C(0; 3; 2)$, $D(5; 7; 1)$. Докажите, что отрезки $AC$ и $BD$ перпендикулярны.

Для того чтобы доказать, что отрезки AC и BD перпендикулярны, необходимо найти векторы, соответствующие этим отрезкам, и вычислить их скалярное произведение. Если скалярное произведение равно нулю, то векторы перпендикулярны, а значит и содержащие их отрезки тоже перпендикулярны.

1. Найдем координаты вектора $\vec{AC}$. Координаты вектора равны разности соответствующих координат его конца и начала. Для точек A(2; -3; 2) и C(0; 3; 2) имеем:
$\vec{AC} = (0 - 2; 3 - (-3); 2 - 2) = (-2; 6; 0)$.

2. Найдем координаты вектора $\vec{BD}$. Для точек B(-4; 4; 4) и D(5; 7; 1) имеем:
$\vec{BD} = (5 - (-4); 7 - 4; 1 - 4) = (9; 3; -3)$.

3. Теперь вычислим скалярное произведение векторов $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$. Скалярное произведение векторов $\vec{a}(x_1; y_1; z_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2; z_2)$ вычисляется по формуле $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$.
$\vec{AC} \cdot \vec{BD} = (-2) \cdot 9 + 6 \cdot 3 + 0 \cdot (-3) = -18 + 18 + 0 = 0$.

Так как скалярное произведение векторов $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$ равно нулю, то эти векторы перпендикулярны. Следовательно, отрезки AC и BD также перпендикулярны.

Ответ: Скалярное произведение векторов $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$ равно 0, следовательно, отрезки AC и BD перпендикулярны, что и требовалось доказать.