Номер 1179, страница 161 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1179. Даны точки A и B. Найдите условие, которому удовлетворяют координаты всех точек M пространства, равноудаленных от A и B, учитывая, что:

a) $A(3; -3; 2)$, $B(-1; 1; -4)$;

б) $A(3; -2; 5)$, $B(1; 2; -3)$.

Множество всех точек пространства, равноудаленных от двух данных точек A и B, представляет собой плоскость, которая перпендикулярна отрезку AB и проходит через его середину. Уравнение этой плоскости является искомым условием.

Пусть координаты искомой точки M будут $(x; y; z)$. Условие равноудаленности точки M от точек A и B записывается как $|MA| = |MB|$. Это равенство эквивалентно равенству квадратов расстояний: $|MA|^2 = |MB|^2$.

Квадрат расстояния между двумя точками $(x_1, y_1, z_1)$ и $(x_2, y_2, z_2)$ вычисляется по формуле: $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2$.

а)

Даны точки A(3; −3; 2) и B(−1; 1; −4).

Найдем квадраты расстояний от точки M(x; y; z) до точек A и B:

$|MA|^2 = (x - 3)^2 + (y - (-3))^2 + (z - 2)^2 = (x - 3)^2 + (y + 3)^2 + (z - 2)^2$.

$|MB|^2 = (x - (-1))^2 + (y - 1)^2 + (z - (-4))^2 = (x + 1)^2 + (y - 1)^2 + (z + 4)^2$.

Приравняем эти выражения:

$(x - 3)^2 + (y + 3)^2 + (z - 2)^2 = (x + 1)^2 + (y - 1)^2 + (z + 4)^2$.

Раскроем скобки:

$x^2 - 6x + 9 + y^2 + 6y + 9 + z^2 - 4z + 4 = x^2 + 2x + 1 + y^2 - 2y + 1 + z^2 + 8z + 16$.

Упростим уравнение, сократив $x^2, y^2, z^2$:

$-6x + 6y - 4z + 22 = 2x - 2y + 8z + 18$.

Соберем все члены в одной части уравнения:

$6x + 2x - 6y - 2y + 4z + 8z + 18 - 22 = 0$.

$8x - 8y + 12z - 4 = 0$.

Разделим обе части уравнения на 4, чтобы упростить его:

$2x - 2y + 3z - 1 = 0$.

Ответ: $2x - 2y + 3z - 1 = 0$.

б)

Даны точки A(3; −2; 5) и B(1; 2; −3).

Найдем квадраты расстояний от точки M(x; y; z) до точек A и B:

$|MA|^2 = (x - 3)^2 + (y - (-2))^2 + (z - 5)^2 = (x - 3)^2 + (y + 2)^2 + (z - 5)^2$.

$|MB|^2 = (x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z - (-3))^2 = (x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z + 3)^2$.

Приравняем эти выражения:

$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 + (z - 5)^2 = (x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z + 3)^2$.

Раскроем скобки:

$x^2 - 6x + 9 + y^2 + 4y + 4 + z^2 - 10z + 25 = x^2 - 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 + z^2 + 6z + 9$.

Упростим уравнение, сократив $x^2, y^2, z^2$:

$-6x + 4y - 10z + 38 = -2x - 4y + 6z + 14$.

Соберем все члены в одной части уравнения:

$-6x + 2x + 4y + 4y - 10z - 6z + 38 - 14 = 0$.

$-4x + 8y - 16z + 24 = 0$.

Разделим обе части уравнения на −4, чтобы упростить его:

$x - 2y + 4z - 6 = 0$.

Ответ: $x - 2y + 4z - 6 = 0$.