Номер 1184, страница 162 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1184. Найдите координаты точек пересечения координатных плоскостей с прямой $AB$, учитывая, что:

а) $A(-4; 1; -1)$, $B(1; 3; -2);$

б) $A(1; 1; 2)$, $B(2; -1; 3).$

а) A(-4; 1; -1), B(1; 3; -2)

Для нахождения точек пересечения прямой AB с координатными плоскостями, сначала составим параметрические уравнения этой прямой. Направляющий вектор прямой $\vec{s}$ совпадает с вектором $\vec{AB}$:

$\vec{s} = \vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) = (1 - (-4); 3 - 1; -2 - (-1)) = (5; 2; -1)$.

Возьмем координаты точки A в качестве начальных. Параметрические уравнения прямой AB имеют вид:

$x = -4 + 5t$
$y = 1 + 2t$
$z = -1 - t$

1. Пересечение с плоскостью Oxy. Уравнение плоскости Oxy: $z = 0$. Подставим это значение в параметрические уравнения прямой: $-1 - t = 0 \implies t = -1$. Теперь найдем координаты $x$ и $y$ для этого значения параметра $t$: $x = -4 + 5(-1) = -4 - 5 = -9$ $y = 1 + 2(-1) = 1 - 2 = -1$ Координаты точки пересечения с плоскостью Oxy: $(-9; -1; 0)$.

2. Пересечение с плоскостью Oxz. Уравнение плоскости Oxz: $y = 0$. Подставим это значение в уравнения прямой: $1 + 2t = 0 \implies 2t = -1 \implies t = -1/2$. Найдем координаты $x$ и $z$: $x = -4 + 5(-1/2) = -4 - 2.5 = -6.5 = -13/2$ $z = -1 - (-1/2) = -1 + 0.5 = -0.5 = -1/2$ Координаты точки пересечения с плоскостью Oxz: $(-13/2; 0; -1/2)$.

3. Пересечение с плоскостью Oyz. Уравнение плоскости Oyz: $x = 0$. Подставим это значение в уравнения прямой: $-4 + 5t = 0 \implies 5t = 4 \implies t = 4/5$. Найдем координаты $y$ и $z$: $y = 1 + 2(4/5) = 1 + 8/5 = 13/5$ $z = -1 - 4/5 = -5/5 - 4/5 = -9/5$ Координаты точки пересечения с плоскостью Oyz: $(0; 13/5; -9/5)$.

Ответ: с плоскостью $Oxy$: $(-9; -1; 0)$; с плоскостью $Oxz$: $(-13/2; 0; -1/2)$; с плоскостью $Oyz$: $(0; 13/5; -9/5)$.

б) A(1; 1; 2), B(2; -1; 3)

Составим параметрические уравнения прямой AB. Направляющий вектор прямой $\vec{s}$:

$\vec{s} = \vec{AB} = (2 - 1; -1 - 1; 3 - 2) = (1; -2; 1)$.

Возьмем координаты точки A в качестве начальных. Параметрические уравнения прямой AB:

$x = 1 + t$
$y = 1 - 2t$
$z = 2 + t$

1. Пересечение с плоскостью Oxy ($z = 0$). $2 + t = 0 \implies t = -2$. $x = 1 + (-2) = -1$ $y = 1 - 2(-2) = 1 + 4 = 5$ Координаты точки пересечения с плоскостью Oxy: $(-1; 5; 0)$.

2. Пересечение с плоскостью Oxz ($y = 0$). $1 - 2t = 0 \implies 2t = 1 \implies t = 1/2$. $x = 1 + 1/2 = 3/2$ $z = 2 + 1/2 = 5/2$ Координаты точки пересечения с плоскостью Oxz: $(3/2; 0; 5/2)$.

3. Пересечение с плоскостью Oyz ($x = 0$). $1 + t = 0 \implies t = -1$. $y = 1 - 2(-1) = 1 + 2 = 3$ $z = 2 + (-1) = 1$ Координаты точки пересечения с плоскостью Oyz: $(0; 3; 1)$.

Ответ: с плоскостью $Oxy$: $(-1; 5; 0)$; с плоскостью $Oxz$: $(3/2; 0; 5/2)$; с плоскостью $Oyz$: $(0; 3; 1)$.