Номер 1186, страница 162 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1186. Найдите уравнение плоскости, проходящей перпендикулярно линии пересечения плоскостей $x + 2y + z - 2 = 0$ и $3x - y + z + 1 = 0$ через точку:

a) $A(3; -2; 3);$

б) $B(-1; 2; 0).$

Для нахождения уравнения искомой плоскости необходимо знать её нормальный вектор $\vec{n} = (A; B; C)$ и точку $(x_0; y_0; z_0)$, через которую она проходит. Уравнение плоскости тогда можно записать в виде $A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0$.

По условию, искомая плоскость перпендикулярна линии пересечения двух данных плоскостей. Это означает, что нормальный вектор искомой плоскости $\vec{n}$ параллелен (коллинеарен) направляющему вектору $\vec{s}$ этой линии пересечения.

Направляющий вектор $\vec{s}$ линии пересечения двух плоскостей перпендикулярен нормальным векторам обеих плоскостей. Следовательно, в качестве направляющего вектора $\vec{s}$ можно взять векторное произведение нормальных векторов данных плоскостей.

Найдем нормальные векторы заданных плоскостей:

Для плоскости $x + 2y + z - 2 = 0$ нормальный вектор $\vec{n_1} = (1; 2; 1)$.

Для плоскости $3x - y + z + 1 = 0$ нормальный вектор $\vec{n_2} = (3; -1; 1)$.

Теперь найдем вектор $\vec{s}$, который будет являться нормальным вектором $\vec{n}$ для искомой плоскости, вычислив векторное произведение:

$\vec{n} = \vec{s} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 2 & 1 \\ 3 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \vec{i}(2 \cdot 1 - 1 \cdot (-1)) - \vec{j}(1 \cdot 1 - 1 \cdot 3) + \vec{k}(1 \cdot (-1) - 2 \cdot 3)$

$\vec{n} = \vec{i}(2+1) - \vec{j}(1-3) + \vec{k}(-1-6) = 3\vec{i} + 2\vec{j} - 7\vec{k}$

Таким образом, нормальный вектор искомой плоскости $\vec{n} = (3; 2; -7)$.

Теперь, имея нормальный вектор, мы можем найти уравнения плоскостей для каждого из двух случаев.

а) Плоскость проходит через точку $A(3; -2; 3)$.

Используем нормальный вектор $\vec{n} = (3; 2; -7)$ и точку $A(3; -2; 3)$. Подставим их в уравнение плоскости $A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0$:

$3(x-3) + 2(y-(-2)) - 7(z-3) = 0$

$3(x-3) + 2(y+2) - 7(z-3) = 0$

$3x - 9 + 2y + 4 - 7z + 21 = 0$

$3x + 2y - 7z + 16 = 0$

Ответ: $3x + 2y - 7z + 16 = 0$.

б) Плоскость проходит через точку $B(-1; 2; 0)$.

Используем тот же нормальный вектор $\vec{n} = (3; 2; -7)$ и точку $B(-1; 2; 0)$. Подставим их в уравнение плоскости:

$3(x-(-1)) + 2(y-2) - 7(z-0) = 0$

$3(x+1) + 2(y-2) - 7z = 0$

$3x + 3 + 2y - 4 - 7z = 0$

$3x + 2y - 7z - 1 = 0$

Ответ: $3x + 2y - 7z - 1 = 0$.