Номер 1180, страница 162 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1180. Прямая $l$ пересекает две координатные плоскости в точках $A(1; 0; -1)$ и $B(0; -1; 1)$ (рис. 353). Найдите, в какой точке прямая $l$ пересекает третью координатную плоскость.

Рис. 353

Даны две точки A(1; 0; –1) и B(0; –1; 1), через которые проходит прямая l.

Точка A(1; 0; –1) имеет координату $y=0$, следовательно, она лежит в координатной плоскости OXZ.

Точка B(0; –1; 1) имеет координату $x=0$, следовательно, она лежит в координатной плоскости OYZ.

Нам необходимо найти точку пересечения прямой l с третьей координатной плоскостью — плоскостью OXY. Уравнение этой плоскости $z=0$. Искомая точка будет иметь вид C(x; y; 0).

Для нахождения координат точки C составим каноническое уравнение прямой, проходящей через две заданные точки A($x_A$; $y_A$; $z_A$) и B($x_B$; $y_B$; $z_B$):

$\frac{x - x_A}{x_B - x_A} = \frac{y - y_A}{y_B - y_A} = \frac{z - z_A}{z_B - z_A}$

Подставим координаты точек A(1; 0; –1) и B(0; –1; 1) в формулу:

$\frac{x - 1}{0 - 1} = \frac{y - 0}{-1 - 0} = \frac{z - (-1)}{1 - (-1)}$

Упростим выражение и получим уравнение прямой l:

$\frac{x - 1}{-1} = \frac{y}{-1} = \frac{z + 1}{2}$

Чтобы найти точку пересечения с плоскостью OXY, подставим в это уравнение условие $z=0$:

$\frac{x - 1}{-1} = \frac{y}{-1} = \frac{0 + 1}{2}$

$\frac{x - 1}{-1} = \frac{y}{-1} = \frac{1}{2}$

Из этого соотношения найдем значения x и y.

1) Найдем x:
$\frac{x - 1}{-1} = \frac{1}{2}$
$x - 1 = -\frac{1}{2}$
$x = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

2) Найдем y:
$\frac{y}{-1} = \frac{1}{2}$
$y = -\frac{1}{2}$

Таким образом, точка пересечения прямой l с плоскостью OXY имеет координаты $(\frac{1}{2}; -\frac{1}{2}; 0)$.

Ответ: $(\frac{1}{2}; -\frac{1}{2}; 0)$.