Номер 1175, страница 161 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1175. Найдите расстояние между прямой $AB$ и координатными осями, учитывая, что:

a) $A(-11; 6; 2)$, $B(9; 14; -13)$;

б) $A(-3; 9; 10)$, $B(9; -7; 1)$.

Для нахождения расстояния между прямой AB и координатной осью, которые являются скрещивающимися прямыми, воспользуемся формулой расстояния между двумя скрещивающимися прямыми: $d = \frac{|(\vec{P_2} - \vec{P_1}) \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})|}{||\vec{v_1} \times \vec{v_2}||}$, где $\vec{P_1}$ и $\vec{P_2}$ — точки на прямых, а $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$ — их направляющие векторы.

Для прямой AB, проходящей через точки $A(-11; 6; 2)$ и $B(9; 14; -13)$, выберем точку $\vec{P_1} = A(-11; 6; 2)$. Направляющий вектор прямой AB: $\vec{v_1} = \vec{AB} = (9 - (-11); 14 - 6; -13 - 2) = (20; 8; -15)$.

Для координатных осей выберем точку $\vec{P_2} = O(0; 0; 0)$, через которую они проходят. Тогда вектор, соединяющий точки на прямых: $\vec{P_2} - \vec{P_1} = \vec{AO} = (0 - (-11); 0 - 6; 0 - 2) = (11; -6; -2)$.

Расстояние до оси Ox

Направляющий вектор оси Ox: $\vec{v_2} = \vec{u}_{ox} = (1; 0; 0)$.

Находим векторное произведение: $\vec{v_1} \times \vec{v_2} = (20; 8; -15) \times (1; 0; 0) = (0; -15; -8)$.

Его модуль: $||\vec{v_1} \times \vec{v_2}|| = \sqrt{0^2 + (-15)^2 + (-8)^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17$.

Находим модуль смешанного произведения: $|(\vec{P_2} - \vec{P_1}) \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})| = |(11; -6; -2) \cdot (0; -15; -8)| = |11 \cdot 0 + (-6) \cdot (-15) + (-2) \cdot (-8)| = |0 + 90 + 16| = 106$.

Расстояние до оси Ox: $d_{ox} = \frac{106}{17}$.

Расстояние до оси Oy

Направляющий вектор оси Oy: $\vec{v_2} = \vec{u}_{oy} = (0; 1; 0)$.

Векторное произведение: $\vec{v_1} \times \vec{v_2} = (20; 8; -15) \times (0; 1; 0) = (15; 0; 20)$.

Его модуль: $||\vec{v_1} \times \vec{v_2}|| = \sqrt{15^2 + 0^2 + 20^2} = \sqrt{225 + 400} = \sqrt{625} = 25$.

Модуль смешанного произведения: $|(11; -6; -2) \cdot (15; 0; 20)| = |11 \cdot 15 + (-6) \cdot 0 + (-2) \cdot 20| = |165 - 40| = 125$.

Расстояние до оси Oy: $d_{oy} = \frac{125}{25} = 5$.

Расстояние до оси Oz

Направляющий вектор оси Oz: $\vec{v_2} = \vec{u}_{oz} = (0; 0; 1)$.

Векторное произведение: $\vec{v_1} \times \vec{v_2} = (20; 8; -15) \times (0; 0; 1) = (8; -20; 0)$.

Его модуль: $||\vec{v_1} \times \vec{v_2}|| = \sqrt{8^2 + (-20)^2 + 0^2} = \sqrt{64 + 400} = \sqrt{464} = 4\sqrt{29}$.

Модуль смешанного произведения: $|(11; -6; -2) \cdot (8; -20; 0)| = |11 \cdot 8 + (-6) \cdot (-20) + (-2) \cdot 0| = |88 + 120| = 208$.

Расстояние до оси Oz: $d_{oz} = \frac{208}{4\sqrt{29}} = \frac{52}{\sqrt{29}} = \frac{52\sqrt{29}}{29}$.

Ответ: расстояние до оси Ox равно $\frac{106}{17}$, до оси Oy — $5$, до оси Oz — $\frac{52\sqrt{29}}{29}$.

Используем тот же подход, что и в пункте а).

Для прямой AB, проходящей через точки $A(-3; 9; 10)$ и $B(9; -7; 1)$, выберем точку $\vec{P_1} = A(-3; 9; 10)$. Направляющий вектор прямой AB: $\vec{v_1} = \vec{AB} = (9 - (-3); -7 - 9; 1 - 10) = (12; -16; -9)$.

Вектор, соединяющий точку A на прямой и точку O(0;0;0) на осях: $\vec{P_2} - \vec{P_1} = \vec{AO} = (0 - (-3); 0 - 9; 0 - 10) = (3; -9; -10)$.

Расстояние до оси Ox

Направляющий вектор оси Ox: $\vec{v_2} = \vec{u}_{ox} = (1; 0; 0)$.

Векторное произведение: $\vec{v_1} \times \vec{v_2} = (12; -16; -9) \times (1; 0; 0) = (0; -9; 16)$.

Его модуль: $||\vec{v_1} \times \vec{v_2}|| = \sqrt{0^2 + (-9)^2 + 16^2} = \sqrt{81 + 256} = \sqrt{337}$.

Модуль смешанного произведения: $|(3; -9; -10) \cdot (0; -9; 16)| = |3 \cdot 0 + (-9) \cdot (-9) + (-10) \cdot 16| = |81 - 160| = |-79| = 79$.

Расстояние до оси Ox: $d_{ox} = \frac{79}{\sqrt{337}} = \frac{79\sqrt{337}}{337}$.

Расстояние до оси Oy

Направляющий вектор оси Oy: $\vec{v_2} = \vec{u}_{oy} = (0; 1; 0)$.

Векторное произведение: $\vec{v_1} \times \vec{v_2} = (12; -16; -9) \times (0; 1; 0) = (9; 0; 12)$.

Его модуль: $||\vec{v_1} \times \vec{v_2}|| = \sqrt{9^2 + 0^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$.

Модуль смешанного произведения: $|(3; -9; -10) \cdot (9; 0; 12)| = |3 \cdot 9 + (-9) \cdot 0 + (-10) \cdot 12| = |27 - 120| = |-93| = 93$.

Расстояние до оси Oy: $d_{oy} = \frac{93}{15} = \frac{31}{5}$.

Расстояние до оси Oz

Направляющий вектор оси Oz: $\vec{v_2} = \vec{u}_{oz} = (0; 0; 1)$.

Векторное произведение: $\vec{v_1} \times \vec{v_2} = (12; -16; -9) \times (0; 0; 1) = (-16; -12; 0)$.

Его модуль: $||\vec{v_1} \times \vec{v_2}|| = \sqrt{(-16)^2 + (-12)^2 + 0^2} = \sqrt{256 + 144} = \sqrt{400} = 20$.

Модуль смешанного произведения: $|(3; -9; -10) \cdot (-16; -12; 0)| = |3 \cdot (-16) + (-9) \cdot (-12) + (-10) \cdot 0| = |-48 + 108| = 60$.

Расстояние до оси Oz: $d_{oz} = \frac{60}{20} = 3$.

Ответ: расстояние до оси Ox равно $\frac{79\sqrt{337}}{337}$, до оси Oy — $\frac{31}{5}$, до оси Oz — $3$.