Номер 1177, страница 161 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1177. Даны точки A и B. Найдите условие, которому удовлетворяют координаты всех точек M пространства, для которых $\angle AMB = 90^\circ$, учитывая, что:

а) $A(3; -1; 2), B(-1; 1; -4);$

б) $A(3; 4; 5), B(1; 2; -3).$

Геометрическое место точек $M$ пространства, для которых угол $\angle AMB = 90^\circ$, представляет собой сферу, для которой отрезок $AB$ является диаметром. Точки $A$ и $B$ не принадлежат этой сфере, так как в этих случаях угол не определен.

Условие $\angle AMB = 90^\circ$ означает, что векторы $\vec{MA}$ и $\vec{MB}$ перпендикулярны (ортогональны). Векторы перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю:

$\vec{MA} \cdot \vec{MB} = 0$

Пусть точка $M$ имеет произвольные координаты $(x; y; z)$. Найдем искомое условие для каждого случая.

Даны точки $A(3; -1; 2)$ и $B(-1; 1; -4)$.

Найдем координаты векторов $\vec{MA}$ и $\vec{MB}$:

$\vec{MA} = (3 - x; -1 - y; 2 - z)$

$\vec{MB} = (-1 - x; 1 - y; -4 - z)$

Запишем условие равенства нулю скалярного произведения $\vec{MA} \cdot \vec{MB}$:

$(3 - x)(-1 - x) + (-1 - y)(1 - y) + (2 - z)(-4 - z) = 0$

Раскроем скобки для каждого слагаемого:

Первое слагаемое: $(3 - x)(-1 - x) = (x - 3)(x + 1) = x^2 + x - 3x - 3 = x^2 - 2x - 3$.

Второе слагаемое: $(-1 - y)(1 - y) = (y + 1)(y - 1) = y^2 - 1$.

Третье слагаемое: $(2 - z)(-4 - z) = (z - 2)(z + 4) = z^2 + 4z - 2z - 8 = z^2 + 2z - 8$.

Подставим полученные выражения в уравнение:

$(x^2 - 2x - 3) + (y^2 - 1) + (z^2 + 2z - 8) = 0$

Сгруппируем слагаемые и получим искомое условие:

$x^2 - 2x + y^2 + z^2 + 2z - 12 = 0$

Это уравнение сферы. Можно привести его к каноническому виду, выделив полные квадраты:

$(x^2 - 2x + 1) - 1 + y^2 + (z^2 + 2z + 1) - 1 - 12 = 0$

$(x - 1)^2 + y^2 + (z + 1)^2 = 14$

Это сфера с центром в точке $(1; 0; -1)$, которая является серединой отрезка $AB$, и радиусом $R = \sqrt{14}$.

Ответ: $x^2 - 2x + y^2 + z^2 + 2z - 12 = 0$.

Даны точки $A(3; 4; 5)$ и $B(1; 2; -3)$.

Найдем координаты векторов $\vec{MA}$ и $\vec{MB}$ для точки $M(x; y; z)$:

$\vec{MA} = (3 - x; 4 - y; 5 - z)$

$\vec{MB} = (1 - x; 2 - y; -3 - z)$

Запишем условие равенства нулю скалярного произведения $\vec{MA} \cdot \vec{MB}$:

$(3 - x)(1 - x) + (4 - y)(2 - y) + (5 - z)(-3 - z) = 0$

Раскроем скобки для каждого слагаемого:

Первое слагаемое: $(3 - x)(1 - x) = 3 - 3x - x + x^2 = x^2 - 4x + 3$.

Второе слагаемое: $(4 - y)(2 - y) = 8 - 4y - 2y + y^2 = y^2 - 6y + 8$.

Третье слагаемое: $(5 - z)(-3 - z) = (z - 5)(z + 3) = z^2 + 3z - 5z - 15 = z^2 - 2z - 15$.

Подставим полученные выражения в уравнение:

$(x^2 - 4x + 3) + (y^2 - 6y + 8) + (z^2 - 2z - 15) = 0$

Сгруппируем слагаемые, чтобы получить искомое условие:

$x^2 - 4x + y^2 - 6y + z^2 - 2z + 3 + 8 - 15 = 0$

$x^2 - 4x + y^2 - 6y + z^2 - 2z - 4 = 0$

Это также уравнение сферы. Приведем его к каноническому виду:

$(x^2 - 4x + 4) - 4 + (y^2 - 6y + 9) - 9 + (z^2 - 2z + 1) - 1 - 4 = 0$

$(x - 2)^2 + (y - 3)^2 + (z - 1)^2 = 18$

Это сфера с центром в точке $(2; 3; 1)$, середине отрезка $AB$, и радиусом $R = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.

Ответ: $x^2 - 4x + y^2 - 6y + z^2 - 2z - 4 = 0$.