Номер 1174, страница 161 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1174. Точка D – проекция точки $C(-1; 8; -3)$ на прямую AB. Найдите координаты точки D, учитывая, что $A(4; 5; -2)$, $B(-2; 3; 0)$.

Точка D является проекцией точки C на прямую AB. Это означает, что точка D принадлежит прямой AB, а вектор $\vec{CD}$ перпендикулярен направляющему вектору прямой AB. В качестве направляющего вектора прямой AB возьмем вектор $\vec{AB}$.

Найдем координаты вектора $\vec{AB}$, зная координаты точек $A(4; 5; -2)$ и $B(-2; 3; 0)$:

$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) = (-2 - 4; 3 - 5; 0 - (-2)) = (-6; -2; 2)$.

Поскольку точка D лежит на прямой AB, ее координаты можно представить в параметрическом виде. Запишем параметрические уравнения прямой, проходящей через точку A с направляющим вектором $\vec{AB}$:

$ \begin{cases} x = 4 - 6t \\ y = 5 - 2t \\ z = -2 + 2t \end{cases} $

Координаты точки D для некоторого значения параметра $t$ равны $D(4 - 6t; 5 - 2t; -2 + 2t)$.

Теперь найдем координаты вектора $\vec{CD}$, зная координаты точки $C(-1; 8; -3)$:

$\vec{CD} = (x_D - x_C; y_D - y_C; z_D - z_C) = ((4 - 6t) - (-1); (5 - 2t) - 8; (-2 + 2t) - (-3))$

$\vec{CD} = (5 - 6t; -3 - 2t; 1 + 2t)$.

По условию, D — проекция C на прямую AB, значит, вектор $\vec{CD}$ перпендикулярен вектору $\vec{AB}$. Скалярное произведение перпендикулярных векторов равно нулю: $\vec{CD} \cdot \vec{AB} = 0$.

$(5 - 6t) \cdot (-6) + (-3 - 2t) \cdot (-2) + (1 + 2t) \cdot 2 = 0$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $t$:

$-30 + 36t + 6 + 4t + 2 + 4t = 0$

$44t - 22 = 0$

$44t = 22$

$t = \frac{22}{44} = \frac{1}{2}$

Найдя значение параметра $t$, мы можем определить координаты точки D, подставив $t = \frac{1}{2}$ в ее параметрическое представление:

$x_D = 4 - 6 \cdot \frac{1}{2} = 4 - 3 = 1$

$y_D = 5 - 2 \cdot \frac{1}{2} = 5 - 1 = 4$

$z_D = -2 + 2 \cdot \frac{1}{2} = -2 + 1 = -1$

Следовательно, координаты точки D равны $(1; 4; -1)$.

Ответ: $D(1; 4; -1)$.