Номер 1181, страница 162 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1181. Найдите значения $m$ и $n$, учитывая, что линии пересечения плоскостей $3x - 2y + 4z + 1 = 0$ и $2x - y + 3z + 5 = 0$ принадлежит точка:

a) $A(1; m; n);$

б) $B(m; 2; n).$

Линия пересечения двух плоскостей — это множество всех точек, которые принадлежат обеим плоскостям одновременно. Следовательно, координаты любой точки на этой линии должны удовлетворять уравнениям обеих плоскостей.

Уравнения плоскостей:

1) $3x - 2y + 4z + 1 = 0$

2) $2x - y + 3z + 5 = 0$

а)

Точка $A(1; m; n)$ принадлежит линии пересечения. Подставим её координаты ($x=1, y=m, z=n$) в оба уравнения плоскостей.

Подстановка в первое уравнение:

$3(1) - 2(m) + 4(n) + 1 = 0$

$3 - 2m + 4n + 1 = 0$

$4 - 2m + 4n = 0$

Разделим все члены уравнения на 2:

$2 - m + 2n = 0 \Rightarrow m - 2n = 2$

Подстановка во второе уравнение:

$2(1) - m + 3n + 5 = 0$

$2 - m + 3n + 5 = 0$

$7 - m + 3n = 0 \Rightarrow m - 3n = 7$

Теперь у нас есть система двух линейных уравнений с двумя переменными $m$ и $n$:

$\begin{cases} m - 2n = 2 \\ m - 3n = 7 \end{cases}$

Чтобы решить систему, вычтем второе уравнение из первого:

$(m - 2n) - (m - 3n) = 2 - 7$

$m - 2n - m + 3n = -5$

$n = -5$

Подставим найденное значение $n = -5$ в первое уравнение системы, чтобы найти $m$:

$m - 2(-5) = 2$

$m + 10 = 2$

$m = 2 - 10$

$m = -8$

Ответ: $m = -8, n = -5$.

б)

Точка $B(m; 2; n)$ принадлежит линии пересечения. Подставим её координаты ($x=m, y=2, z=n$) в оба уравнения плоскостей.

Подстановка в первое уравнение:

$3(m) - 2(2) + 4(n) + 1 = 0$

$3m - 4 + 4n + 1 = 0$

$3m + 4n - 3 = 0 \Rightarrow 3m + 4n = 3$

Подстановка во второе уравнение:

$2(m) - 2 + 3(n) + 5 = 0$

$2m + 3n + 3 = 0 \Rightarrow 2m + 3n = -3$

Получаем систему двух линейных уравнений с двумя переменными $m$ и $n$:

$\begin{cases} 3m + 4n = 3 \\ 2m + 3n = -3 \end{cases}$

Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 2, а второе на -3, чтобы исключить переменную $m$:

$2 \cdot (3m + 4n = 3) \Rightarrow 6m + 8n = 6$

$-3 \cdot (2m + 3n = -3) \Rightarrow -6m - 9n = 9$

Сложим полученные уравнения:

$(6m + 8n) + (-6m - 9n) = 6 + 9$

$-n = 15$

$n = -15$

Подставим найденное значение $n = -15$ во второе уравнение исходной системы, чтобы найти $m$:

$2m + 3(-15) = -3$

$2m - 45 = -3$

$2m = 45 - 3$

$2m = 42$

$m = 21$

Ответ: $m = 21, n = -15$.