Номер 1187, страница 162 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1187. Определите, на каком расстоянии от линии пересечения плоскостей

$x + 2y + z - 2 = 0$ и $3x - y + z + 1 = 0$ находится точка:

а) $A(-2; -7; 2);$

б) $B(-3; -1; 7).$

Для нахождения расстояния от точки до прямой в пространстве, сначала необходимо определить уравнение этой прямой. Прямая, являющаяся линией пересечения двух плоскостей, задается системой уравнений этих плоскостей.

Плоскость 1: $P_1: x + 2y + z - 2 = 0$

Плоскость 2: $P_2: 3x - y + z + 1 = 0$

Расстояние $d$ от точки $M$ до прямой $L$ (заданной точкой $M_0$ и направляющим вектором $\vec{v}$) вычисляется по формуле:

$d(M, L) = \frac{|\vec{v} \times \vec{M_0 M}|}{|\vec{v}|}$

Найдем направляющий вектор $\vec{v}$ и точку $M_0$ на линии пересечения.

1. Направляющий вектор $\vec{v}$. Он перпендикулярен нормальным векторам обеих плоскостей. Нормальные векторы: $\vec{n_1} = (1; 2; 1)$ для $P_1$ и $\vec{n_2} = (3; -1; 1)$ для $P_2$. Найдем $\vec{v}$ как их векторное произведение:

$\vec{v} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 2 & 1 \\ 3 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \vec{i}(2 \cdot 1 - 1 \cdot (-1)) - \vec{j}(1 \cdot 1 - 1 \cdot 3) + \vec{k}(1 \cdot (-1) - 2 \cdot 3)$

$\vec{v} = (2+1)\vec{i} - (1-3)\vec{j} + (-1-6)\vec{k} = 3\vec{i} + 2\vec{j} - 7\vec{k}$

Таким образом, направляющий вектор прямой $\vec{v} = (3; 2; -7)$.

2. Точка $M_0$ на прямой. Найдем любое частное решение системы уравнений плоскостей. Положим $z=0$:

$\begin{cases} x + 2y - 2 = 0 \\ 3x - y + 1 = 0 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $y = 3x + 1$. Подставим в первое:

$x + 2(3x + 1) - 2 = 0$

$x + 6x + 2 - 2 = 0$

$7x = 0 \Rightarrow x = 0$

Тогда $y = 3(0) + 1 = 1$.

Получили точку на прямой $M_0(0; 1; 0)$.

Теперь можем найти расстояние для каждой из заданных точек.

а) $A(-2; -7; 2)$

Найдем вектор $\vec{M_0 A}$:

$\vec{M_0 A} = (-2 - 0; -7 - 1; 2 - 0) = (-2; -8; 2)$.

Вычислим векторное произведение $\vec{v} \times \vec{M_0 A}$:

$\vec{v} \times \vec{M_0 A} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & 2 & -7 \\ -2 & -8 & 2 \end{vmatrix} = \vec{i}(2 \cdot 2 - (-7) \cdot (-8)) - \vec{j}(3 \cdot 2 - (-7) \cdot (-2)) + \vec{k}(3 \cdot (-8) - 2 \cdot (-2))$

$= \vec{i}(4 - 56) - \vec{j}(6 - 14) + \vec{k}(-24 + 4) = -52\vec{i} + 8\vec{j} - 20\vec{k}$

Найдем модуль этого вектора:

$|\vec{v} \times \vec{M_0 A}| = \sqrt{(-52)^2 + 8^2 + (-20)^2} = \sqrt{2704 + 64 + 400} = \sqrt{3168}$

Упростим корень: $3168 = 144 \cdot 22$, поэтому $\sqrt{3168} = \sqrt{144 \cdot 22} = 12\sqrt{22}$.

Теперь найдем модуль направляющего вектора $\vec{v}$:

$|\vec{v}| = \sqrt{3^2 + 2^2 + (-7)^2} = \sqrt{9 + 4 + 49} = \sqrt{62}$.

Вычисляем расстояние:

$d(A, L) = \frac{|\vec{v} \times \vec{M_0 A}|}{|\vec{v}|} = \frac{12\sqrt{22}}{\sqrt{62}} = 12\sqrt{\frac{22}{62}} = 12\sqrt{\frac{11}{31}} = \frac{12\sqrt{11}\sqrt{31}}{31} = \frac{12\sqrt{341}}{31}$.

Ответ: $\frac{12\sqrt{341}}{31}$.

б) $B(-3; -1; 7)$

Прежде чем применять формулу, проверим, не лежит ли точка $B$ на самой линии пересечения. Для этого ее координаты должны удовлетворять уравнениям обеих плоскостей.

Подставим координаты точки $B(-3; -1; 7)$ в уравнение первой плоскости:

$x + 2y + z - 2 = (-3) + 2(-1) + 7 - 2 = -3 - 2 + 7 - 2 = -5 + 5 = 0$.

Уравнение выполняется.

Подставим координаты точки $B$ в уравнение второй плоскости:

$3x - y + z + 1 = 3(-3) - (-1) + 7 + 1 = -9 + 1 + 7 + 1 = -9 + 9 = 0$.

Это уравнение также выполняется.

Поскольку координаты точки $B$ удовлетворяют уравнениям обеих плоскостей, точка $B$ лежит на их линии пересечения. Расстояние от точки до прямой, на которой она лежит, равно нулю.

Ответ: 0.