Номер 1191, страница 163 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1191. Изобразите в тетради оси $Ox$, $Oy$, $Oz$ системы координат. Покажите на рисунке линию пересечения плоскостей $x - y + 3z - 6 = 0$ и $x - y - 2z - 4 = 0$.

Чтобы найти линию пересечения двух плоскостей, необходимо решить систему уравнений, задающих эти плоскости:

$ \begin{cases} x - y + 3z - 6 = 0 \\ x - y - 2z - 4 = 0 \end{cases} $

Для нахождения уравнения прямой пересечения вычтем второе уравнение из первого, чтобы исключить переменные $x$ и $y$:

$(x - y + 3z - 6) - (x - y - 2z - 4) = 0$

$x - y + 3z - 6 - x + y + 2z + 4 = 0$

$5z - 2 = 0$

$z = \frac{2}{5} = 0.4$

Это означает, что все точки линии пересечения лежат в плоскости $z=0.4$, которая параллельна координатной плоскости $Oxy$ и находится на высоте 0.4 над ней.

Теперь подставим найденное значение $z$ в любое из исходных уравнений, например, в первое:

$x - y + 3 \cdot (0.4) - 6 = 0$

$x - y + 1.2 - 6 = 0$

$x - y - 4.8 = 0$

$x - y = 4.8$

Таким образом, линия пересечения задается системой двух уравнений:

$ \begin{cases} z = 0.4 \\ x - y = 4.8 \end{cases} $

Для построения этой прямой в трехмерной системе координат найдем две любые точки, принадлежащие ей. Удобно найти точки пересечения с координатными плоскостями (или с плоскостями, им параллельными).

1. Найдем точку, лежащую в плоскости $Oxz$ (где $y=0$):

Если $y=0$, то $x - 0 = 4.8 \implies x = 4.8$. Координата $z$ остается $z=0.4$.

Получаем точку $A(4.8; 0; 0.4)$.

2. Найдем точку, лежащую в плоскости $Oyz$ (где $x=0$):

Если $x=0$, то $0 - y = 4.8 \implies y = -4.8$. Координата $z$ остается $z=0.4$.

Получаем точку $B(0; -4.8; 0.4)$.

Теперь изобразим систему координат $Oxyz$ и построим найденные точки $A$ и $B$. Соединив эти точки прямой, мы получим искомую линию пересечения плоскостей.

Описание построения на рисунке:

1. Начерчены оси координат $Ox, Oy, Oz$.
2. Для построения точки $A(4.8; 0; 0.4)$: откладываем 4.8 единиц по оси $Ox$, а затем поднимаемся на 0.4 единицы параллельно оси $Oz$.
3. Для построения точки $B(0; -4.8; 0.4)$: откладываем 4.8 единиц по оси $Oy$ в отрицательном направлении, а затем поднимаемся на 0.4 единицы параллельно оси $Oz$.
4. Проводим прямую через точки $A$ и $B$. Эта прямая является линией пересечения заданных плоскостей. Она параллельна плоскости $Oxy$.

Ответ: Линия пересечения плоскостей — это прямая, проходящая через точки $A(4.8; 0; 0.4)$ и $B(0; -4.8; 0.4)$, параллельная плоскости $Oxy$ и расположенная на высоте $z=0.4$.