Номер 1196, страница 163 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1196. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точки $A (2; 0; 1)$ и $B (1; -3; 0)$ и параллельной:

а) оси $Oz$;

б) оси $Oy$;

в) оси $Ox$.

Для составления уравнения плоскости необходимо знать точку, принадлежащую плоскости, и вектор нормали к этой плоскости $\vec{n} = (A; B; C)$. Уравнение плоскости в общем виде: $A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$, где $(x_0, y_0, z_0)$ - координаты точки на плоскости.

В нашей задаче плоскость проходит через точки A(2; 0; 1) и B(1; -3; 0). Следовательно, вектор $\vec{AB}$ лежит в этой плоскости. Найдем его координаты:

$\vec{AB} = (1-2; -3-0; 0-1) = (-1; -3; -1)$.

Также, по условию, плоскость параллельна одной из координатных осей. Это означает, что направляющий вектор этой оси также лежит в искомой плоскости (или параллелен ей). Вектор нормали $\vec{n}$ будет перпендикулярен обоим этим векторам (вектору $\vec{AB}$ и направляющему вектору оси). Его можно найти как векторное произведение этих двух векторов.

а) оси Oz

Плоскость параллельна оси Oz. Направляющий вектор оси Oz - это $\vec{k} = (0; 0; 1)$.

Найдем вектор нормали $\vec{n}_a$ как векторное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{k}$:

$\vec{n}_a = \vec{AB} \times \vec{k} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & -3 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \vec{i}(-3 \cdot 1 - (-1) \cdot 0) - \vec{j}(-1 \cdot 1 - (-1) \cdot 0) + \vec{k}(-1 \cdot 0 - (-3) \cdot 0) = -3\vec{i} + 1\vec{j} + 0\vec{k} = (-3; 1; 0)$.

Таким образом, вектор нормали $\vec{n}_a = (-3; 1; 0)$. В качестве точки, через которую проходит плоскость, возьмем точку A(2; 0; 1). Составим уравнение плоскости:

$-3(x - 2) + 1(y - 0) + 0(z - 1) = 0$

$-3x + 6 + y = 0$

$3x - y - 6 = 0$

Ответ: $3x - y - 6 = 0$

б) оси Oy

Плоскость параллельна оси Oy. Направляющий вектор оси Oy - это $\vec{j} = (0; 1; 0)$.

Найдем вектор нормали $\vec{n}_b$ как векторное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{j}$:

$\vec{n}_b = \vec{AB} \times \vec{j} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & -3 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \vec{i}(-3 \cdot 0 - (-1) \cdot 1) - \vec{j}(-1 \cdot 0 - (-1) \cdot 0) + \vec{k}(-1 \cdot 1 - (-3) \cdot 0) = 1\vec{i} - 0\vec{j} - 1\vec{k} = (1; 0; -1)$.

Таким образом, вектор нормали $\vec{n}_b = (1; 0; -1)$. Возьмем точку A(2; 0; 1) и составим уравнение плоскости:

$1(x - 2) + 0(y - 0) - 1(z - 1) = 0$

$x - 2 - z + 1 = 0$

$x - z - 1 = 0$

Ответ: $x - z - 1 = 0$

в) оси Ox

Плоскость параллельна оси Ox. Направляющий вектор оси Ox - это $\vec{i} = (1; 0; 0)$.

Найдем вектор нормали $\vec{n}_c$ как векторное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{i}$:

$\vec{n}_c = \vec{AB} \times \vec{i} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & -3 & -1 \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix} = \vec{i}(-3 \cdot 0 - (-1) \cdot 0) - \vec{j}(-1 \cdot 0 - (-1) \cdot 1) + \vec{k}(-1 \cdot 0 - (-3) \cdot 1) = 0\vec{i} - 1\vec{j} + 3\vec{k} = (0; -1; 3)$.

Таким образом, вектор нормали $\vec{n}_c = (0; -1; 3)$. Возьмем точку A(2; 0; 1) и составим уравнение плоскости:

$0(x - 2) - 1(y - 0) + 3(z - 1) = 0$

$-y + 3z - 3 = 0$

$y - 3z + 3 = 0$

Ответ: $y - 3z + 3 = 0$