Номер 1202, страница 164 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1202. Через вершину $C_1$ параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ проходит плоскость, пересекающая прямые $AB$, $AD$ и $AA_1$ соответственно в точках $M$, $N$ и $P$ (рис. 354). Докажите, что выполняется равенство

$\frac{C_1D_1}{MA} + \frac{C_1B_1}{NA} + \frac{C_1C}{PA} = 1$, в отношениях которого учитываются направления отрезков.

Рис. 354

Для решения задачи воспользуемся векторным методом. Введем аффинную систему координат с началом в точке $A$ и базисными векторами $\vec{a} = \vec{AB}$, $\vec{b} = \vec{AD}$ и $\vec{c} = \vec{AA_1}$. В этой системе координат вершины параллелепипеда будут иметь следующие координаты:

$A(0, 0, 0)$

$B(1, 0, 0)$

$D(0, 1, 0)$

$A_1(0, 0, 1)$

$C_1$: Вектор $\vec{AC_1} = \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CC_1} = \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$. Следовательно, координаты точки $C_1(1, 1, 1)$.

Плоскость, проходящая через точку $C_1$, пересекает прямые $AB$, $AD$ и $AA_1$ в точках $M$, $N$ и $P$ соответственно. Найдем координаты этих точек:

• Точка $M$ лежит на прямой $AB$, поэтому ее вектор $\vec{AM}$ коллинеарен вектору $\vec{AB}$. Таким образом, $\vec{AM} = x \cdot \vec{AB} = x \cdot \vec{a}$. Координаты точки $M(x, 0, 0)$.
• Точка $N$ лежит на прямой $AD$, поэтому ее вектор $\vec{AN}$ коллинеарен вектору $\vec{AD}$. Таким образом, $\vec{AN} = y \cdot \vec{AD} = y \cdot \vec{b}$. Координаты точки $N(0, y, 0)$.
• Точка $P$ лежит на прямой $AA_1$, поэтому ее вектор $\vec{AP}$ коллинеарен вектору $\vec{AA_1}$. Таким образом, $\vec{AP} = z \cdot \vec{AA_1} = z \cdot \vec{c}$. Координаты точки $P(0, 0, z)$.

Точки $M, N, P$ определяют секущую плоскость. Уравнение плоскости, проходящей через точки $M(x, 0, 0)$, $N(0, y, 0)$ и $P(0, 0, z)$, в отрезках на осях имеет вид:

$\frac{X}{x} + \frac{Y}{y} + \frac{Z}{z} = 1$

По условию, эта плоскость проходит через точку $C_1$. Следовательно, координаты точки $C_1(1, 1, 1)$ должны удовлетворять уравнению этой плоскости. Подставим их в уравнение:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1$

Теперь выразим отношения направленных отрезков из условия задачи через введенные параметры $x, y, z$.

1. Отношение $\frac{C_1D_1}{MA}$

Найдем векторы $\vec{C_1D_1}$ и $\vec{MA}$:

$\vec{C_1D_1} = \vec{BA} = -\vec{AB} = -\vec{a}$

$\vec{MA} = \vec{A} - \vec{M} = -\vec{AM} = -x\vec{a}$

Отношение направленных отрезков $\frac{C_1D_1}{MA}$ — это число $k$ такое, что $\vec{C_1D_1} = k \cdot \vec{MA}$.

$-\vec{a} = k \cdot (-x\vec{a}) \implies -1 = -kx \implies k = \frac{1}{x}$.

Таким образом, $\frac{C_1D_1}{MA} = \frac{1}{x}$.

2. Отношение $\frac{C_1B_1}{NA}$

Найдем векторы $\vec{C_1B_1}$ и $\vec{NA}$:

$\vec{C_1B_1} = \vec{DA} = -\vec{AD} = -\vec{b}$

$\vec{NA} = \vec{A} - \vec{N} = -\vec{AN} = -y\vec{b}$

Отношение $\frac{C_1B_1}{NA}$ — это число $k$ такое, что $\vec{C_1B_1} = k \cdot \vec{NA}$.

$-\vec{b} = k \cdot (-y\vec{b}) \implies -1 = -ky \implies k = \frac{1}{y}$.

Таким образом, $\frac{C_1B_1}{NA} = \frac{1}{y}$.

3. Отношение $\frac{C_1C}{PA}$

Найдем векторы $\vec{C_1C}$ и $\vec{PA}$:

$\vec{C_1C} = \vec{A_1A} = -\vec{AA_1} = -\vec{c}$

$\vec{PA} = \vec{A} - \vec{P} = -\vec{AP} = -z\vec{c}$

Отношение $\frac{C_1C}{PA}$ — это число $k$ такое, что $\vec{C_1C} = k \cdot \vec{PA}$.

$-\vec{c} = k \cdot (-z\vec{c}) \implies -1 = -kz \implies k = \frac{1}{z}$.

Таким образом, $\frac{C_1C}{PA} = \frac{1}{z}$.

Теперь подставим полученные выражения в левую часть доказываемого равенства:

$\frac{C_1D_1}{MA} + \frac{C_1B_1}{NA} + \frac{C_1C}{PA} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}$

Как мы установили ранее из уравнения плоскости, $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1$.

Следовательно, $\frac{C_1D_1}{MA} + \frac{C_1B_1}{NA} + \frac{C_1C}{PA} = 1$. Равенство доказано.

Ответ: Что и требовалось доказать.