Номер 1198, страница 163 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1198. Даны точки $A(0; -1; 2)$, $B(1; 1; 1)$, $C(1; 1; -2)$, $D(1; 0; -1)$. Составьте уравнение плоскости, проходящей через прямую:

a) $AB$ и параллельной прямой $CD$;

б) $CD$ и параллельной прямой $AB$.

а) Чтобы составить уравнение плоскости, необходимо знать точку, через которую проходит плоскость, и вектор нормали к этой плоскости.
По условию, плоскость проходит через прямую $AB$, значит, любая точка этой прямой принадлежит плоскости. Возьмем точку $A(0; -1; 2)$. Также вектор, коллинеарный прямой $AB$, будет лежать в этой плоскости (или будет ей параллелен). Найдем координаты направляющего вектора $\vec{AB}$:
$\vec{AB} = (1 - 0; 1 - (-1); 1 - 2) = (1; 2; -1)$.
Плоскость параллельна прямой $CD$, следовательно, направляющий вектор прямой $CD$, вектор $\vec{CD}$, параллелен искомой плоскости. Найдем его координаты:
$\vec{CD} = (1 - 1; 0 - 1; -1 - (-2)) = (0; -1; 1)$.
Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ не коллинеарны. Вектор нормали $\vec{n}$ к искомой плоскости перпендикулярен обоим этим векторам, поэтому его можно найти как их векторное произведение:
$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{CD} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(2 \cdot 1 - (-1) \cdot (-1)) - \mathbf{j}(1 \cdot 1 - (-1) \cdot 0) + \mathbf{k}(1 \cdot (-1) - 2 \cdot 0) = \mathbf{i}(2-1) - \mathbf{j}(1-0) + \mathbf{k}(-1-0) = (1; -1; -1)$.
Теперь, зная точку $A(0; -1; 2)$ на плоскости и вектор нормали $\vec{n}=(1; -1; -1)$, составим уравнение плоскости по формуле $A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0$:
$1 \cdot (x - 0) - 1 \cdot (y - (-1)) - 1 \cdot (z - 2) = 0$
$x - (y + 1) - (z - 2) = 0$
$x - y - 1 - z + 2 = 0$
$x - y - z + 1 = 0$.

Ответ: $x - y - z + 1 = 0$.

б) В данном случае плоскость проходит через прямую $CD$ и параллельна прямой $AB$.
Значит, плоскость проходит через любую точку прямой $CD$, например, через точку $C(1; 1; -2)$.
Направляющий вектор $\vec{CD}=(0; -1; 1)$ лежит в плоскости.
Направляющий вектор $\vec{AB}=(1; 2; -1)$ параллелен плоскости.
Как и в предыдущем пункте, эти два вектора параллельны искомой плоскости, поэтому их векторное произведение даст вектор нормали к ней. Мы уже вычислили его: $\vec{n} = (1; -1; -1)$.
Составим уравнение плоскости, используя точку $C(1; 1; -2)$ и вектор нормали $\vec{n}=(1; -1; -1)$:
$1 \cdot (x - 1) - 1 \cdot (y - 1) - 1 \cdot (z - (-2)) = 0$
$x - 1 - (y - 1) - (z + 2) = 0$
$x - 1 - y + 1 - z - 2 = 0$
$x - y - z - 2 = 0$.

Ответ: $x - y - z - 2 = 0$.