Номер 1171, страница 161 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1171. Точка $M$ луча $AB$ находится на расстоянии $7$ от его начала. Найдите координаты точки $M$, учитывая, что:

a) $A(-12; 6; -4)$, $B(0; 0; 0)$;

б) $A(-1; 5; -4)$, $B(8; -13; -10)$.

а) A(-12; 6; -4), B(0; 0; 0)

Точка M лежит на луче AB, который начинается в точке A. Это означает, что вектор $\vec{AM}$ сонаправлен (имеет то же направление, что и) вектору $\vec{AB}$. Координаты точки M можно найти, используя векторное представление.

Положение точки M на луче AB можно описать уравнением: $\vec{OM} = \vec{OA} + t \cdot \vec{AB}$, где $\vec{OA}$ и $\vec{OM}$ — это радиус-векторы точек A и M, а $t$ — это неотрицательный скалярный коэффициент ($t \ge 0$).

Из этого уравнения следует, что $\vec{AM} = \vec{OM} - \vec{OA} = t \cdot \vec{AB}$.

По условию задачи, расстояние от начала луча (точки A) до точки M равно 7, то есть длина вектора $\vec{AM}$ равна 7: $|\vec{AM}| = 7$.

Так как векторы $\vec{AM}$ и $\vec{AB}$ сонаправлены ($t > 0$), то $|\vec{AM}| = |t \cdot \vec{AB}| = t \cdot |\vec{AB}|$.

Отсюда мы можем найти коэффициент $t$: $t = \frac{|\vec{AM}|}{|\vec{AB}|} = \frac{7}{|\vec{AB}|}$.

1. Сначала найдем координаты и модуль (длину) направляющего вектора $\vec{AB}$:

$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) = (0 - (-12); 0 - 6; 0 - (-4)) = (12; -6; 4)$.

$|\vec{AB}| = \sqrt{12^2 + (-6)^2 + 4^2} = \sqrt{144 + 36 + 16} = \sqrt{196} = 14$.

2. Теперь найдем значение коэффициента $t$:

$t = \frac{7}{14} = \frac{1}{2}$.

3. Наконец, найдем координаты точки M($x_M; y_M; z_M$), используя формулу $M = A + t \cdot \vec{AB}$ в координатной форме:

$x_M = x_A + t \cdot (AB_x) = -12 + \frac{1}{2} \cdot 12 = -12 + 6 = -6$.

$y_M = y_A + t \cdot (AB_y) = 6 + \frac{1}{2} \cdot (-6) = 6 - 3 = 3$.

$z_M = z_A + t \cdot (AB_z) = -4 + \frac{1}{2} \cdot 4 = -4 + 2 = -2$.

Таким образом, координаты точки M равны (-6; 3; -2).

Ответ: M(-6; 3; -2).

б) A(-1; 5; -4), B(8; -13; -10)

Решение аналогично предыдущему пункту. Точка M находится на луче AB на расстоянии 7 от его начала A.

Мы используем ту же зависимость: $\vec{AM} = t \cdot \vec{AB}$, где $t = \frac{|\vec{AM}|}{|\vec{AB}|} = \frac{7}{|\vec{AB}|}$.

1. Найдем координаты и модуль вектора $\vec{AB}$:

$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) = (8 - (-1); -13 - 5; -10 - (-4)) = (9; -18; -6)$.

$|\vec{AB}| = \sqrt{9^2 + (-18)^2 + (-6)^2} = \sqrt{81 + 324 + 36} = \sqrt{441} = 21$.

2. Найдем коэффициент $t$:

$t = \frac{7}{21} = \frac{1}{3}$.

3. Найдем координаты точки M($x_M; y_M; z_M$):

$x_M = x_A + t \cdot (AB_x) = -1 + \frac{1}{3} \cdot 9 = -1 + 3 = 2$.

$y_M = y_A + t \cdot (AB_y) = 5 + \frac{1}{3} \cdot (-18) = 5 - 6 = -1$.

$z_M = z_A + t \cdot (AB_z) = -4 + \frac{1}{3} \cdot (-6) = -4 - 2 = -6$.

Таким образом, координаты точки M равны (2; -1; -6).

Ответ: M(2; -1; -6).