Номер 1157, страница 159 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1157. Призма описана около сферы. Найдите площадь ее боковой поверхности, учитывая, что площадь основания призмы равна $S$.

Пусть призма описана около сферы радиуса $R$.

Поскольку сфера касается обоих оснований призмы (верхнего и нижнего), расстояние между этими основаниями, то есть высота призмы $H$, должно быть равно диаметру сферы: $H = 2R$.

Так как сфера касается всех боковых граней призмы, то призма является прямой. Проекция центра сферы на плоскость основания совпадает с центром окружности, вписанной в многоугольник основания. Радиус этой вписанной окружности $r$ равен радиусу сферы $R$: $r = R$.

Следовательно, высота призмы $H$ связана с радиусом вписанной в основание окружности $r$ следующим образом: $H = 2r$.

Площадь боковой поверхности прямой призмы $S_{бок}$ вычисляется как произведение периметра основания $P$ на высоту призмы $H$: $S_{бок} = P \cdot H$.

Подставим в эту формулу выражение для высоты $H = 2r$: $S_{бок} = P \cdot (2r) = 2Pr$.

Площадь многоугольника, в который вписана окружность (в нашем случае это основание призмы), равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности. По условию, эта площадь равна $S$: $S = S_{осн} = \frac{1}{2} P \cdot r$.

Из формулы для площади основания выразим произведение $P \cdot r$: $P \cdot r = 2S$.

Теперь подставим полученное выражение в формулу для площади боковой поверхности: $S_{бок} = 2(P \cdot r) = 2(2S) = 4S$.

Ответ: $4S$.