Номер 1152, страница 159 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1152. Около правильной треугольной призмы, высота которой вдвое больше стороны основания, описан шар. Найдите отношение объема шара к объему призмы.

Пусть сторона основания правильной треугольной призмы равна $a$, а ее высота равна $H$. По условию задачи, высота вдвое больше стороны основания, то есть $H = 2a$.

Сначала найдем объем призмы ($V_{призмы}$). Объем призмы вычисляется как произведение площади основания ($S_{осн}$) на высоту ($H$). Основанием призмы является правильный (равносторонний) треугольник со стороной $a$. Площадь такого треугольника равна:

$S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Тогда объем призмы:

$V_{призмы} = S_{осн} \cdot H = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot 2a = \frac{a^3\sqrt{3}}{2}$

Теперь найдем объем описанного шара ($V_{шара}$). Для этого нам нужен радиус шара $R$. Поскольку шар описан около призмы, все вершины призмы лежат на поверхности шара. Центр описанного шара для прямой призмы находится на середине ее высоты (на оси призмы).

Радиус шара $R$ можно найти как гипотенузу в прямоугольном треугольнике, катетами которого являются половина высоты призмы ($\frac{H}{2}$) и радиус окружности, описанной около основания призмы ($r_{осн}$).

Радиус окружности, описанной около правильного треугольника со стороной $a$, вычисляется по формуле:

$r_{осн} = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Теперь по теореме Пифагора найдем квадрат радиуса шара:

$R^2 = (\frac{H}{2})^2 + r_{осн}^2$

Подставим значения $H = 2a$ и $r_{осн} = \frac{a}{\sqrt{3}}$:

$R^2 = (\frac{2a}{2})^2 + (\frac{a}{\sqrt{3}})^2 = a^2 + \frac{a^2}{3} = \frac{3a^2 + a^2}{3} = \frac{4a^2}{3}$

Отсюда радиус шара $R = \sqrt{\frac{4a^2}{3}} = \frac{2a}{\sqrt{3}}$.

Объем шара вычисляется по формуле $V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R^3$. Найдем объем шара:

$V_{шара} = \frac{4}{3}\pi (\frac{2a}{\sqrt{3}})^3 = \frac{4}{3}\pi \frac{8a^3}{3\sqrt{3}} = \frac{32\pi a^3}{9\sqrt{3}}$

Наконец, найдем искомое отношение объема шара к объему призмы:

$\frac{V_{шара}}{V_{призмы}} = \frac{\frac{32\pi a^3}{9\sqrt{3}}}{\frac{a^3\sqrt{3}}{2}} = \frac{32\pi a^3}{9\sqrt{3}} \cdot \frac{2}{a^3\sqrt{3}} = \frac{64\pi}{9 \cdot (\sqrt{3})^2} = \frac{64\pi}{9 \cdot 3} = \frac{64\pi}{27}$

Ответ: $\frac{64\pi}{27}$.