Номер 1151, страница 159 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1151. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно радиусу описанного около нее шара. Найдите объем пирамиды, учитывая, что ребро основания равно $a$.

Пусть $a$ — ребро основания правильной треугольной пирамиды, $l$ — её боковое ребро, $H$ — высота, а $R$ — радиус описанного около неё шара. По условию задачи, ребро основания равно $a$, а боковое ребро равно радиусу описанного шара, то есть $l = R$.

Объем пирамиды $V$ находится по формуле:
$V = \frac{1}{3}S_{осн}H$, где $S_{осн}$ — площадь основания.

Найдем площадь основания.
Основание пирамиды — это правильный треугольник со стороной $a$. Его площадь вычисляется по формуле:
$S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Найдем высоту пирамиды $H$.
Радиус $R$ шара, описанного около правильной пирамиды, связан с её боковым ребром $l$ и высотой $H$ формулой:
$R = \frac{l^2}{2H}$.
Используя условие $l = R$, получаем:
$l = \frac{l^2}{2H}$.
Так как $l \neq 0$, можно разделить обе части на $l$:
$1 = \frac{l}{2H}$, откуда следует, что $l = 2H$.

Высота пирамиды $H$, боковое ребро $l$ и радиус $r$ окружности, описанной около основания, образуют прямоугольный треугольник. Согласно теореме Пифагора:
$l^2 = H^2 + r^2$.
Для правильного треугольника со стороной $a$ радиус описанной окружности равен:
$r = \frac{a}{\sqrt{3}}$.
Подставим выражения для $l$ и $r$ в теорему Пифагора:
$(2H)^2 = H^2 + \left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^2$
$4H^2 = H^2 + \frac{a^2}{3}$
$3H^2 = \frac{a^2}{3}$
$H^2 = \frac{a^2}{9}$
$H = \frac{a}{3}$ (так как высота не может быть отрицательной).

Вычислим объем пирамиды.
Теперь, зная площадь основания и высоту, найдем объем:
$V = \frac{1}{3} S_{осн} H = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\right) \cdot \left(\frac{a}{3}\right) = \frac{a^3\sqrt{3}}{36}$.

Ответ: $\frac{a^3\sqrt{3}}{36}$.